Kein Körper trotz erfüllter Körperaxiome!

Question

ich sitze an einer Aufgabe von Linearer algebra und fände es super wenn ich einen nachvollziehbaren Lösungsweg bekomme :)

Die Aufgabe:

Sei K eine Menge mit Verknüpfung (+,*) . Zeigen sie, dass (K,+,*) noch kein Körper zu sein braucht, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:

1. (K,+) ist eine abelsche Gruppe.

2. (K\ {0} ,*) ist eine abelsche Gruppe.

3. Für alle a,b,c Element aus K : a(b+c)=a*b + a*c

Hinweis: Finden sie durch geeignete Wahl der Verknüpfungen +,* ein Gegenbeispiel für den Fall K:= {0,1}

Answer 1

In einem Körper müssen die Distributivgesetze a(b+c)=ab + ac und (b+c)a = ba + ca gelten.

In einer abelschen Gruppe (K,·) gilt das Kommutativgesetz. Man könnte also meinen, dass eines der Distributivgesetze überflüssig ist. Dem ist nicht so: damit (K,+,·) ein Körper ist, muss (K\{0}, ·) eine abelsche Gruppe sein, nicht (K,·).

(K\{0}, ·) ist auch dann eine abelsche Gruppe, wenn man 0·1 = 1 definiert. Allerdings gilt dann nicht mehr (b+c)a = ba + ca, wegen (0+0)·1 = 0·1 = 1 und 0·1 + 0·1 = 1 + 1 = 0.

Das Distributivgesetz a(b+c)=ab + ac gilt trotz der Wahl 0·1 = 1 weiter, so lange man 1·0=0 definiert.

Comments

danke für die Antwort! Aber warum ist 0*1=1 ?

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Weil die einzige Alternative 0*1=0 zu einem Körper führen würde.

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Auf die Gefahr hin blöd zu klingen, wieso dürfen wir denn mit der Null arbeiten wenn sie doch aus der Menge ausgeschlossen ist -> \{0}??

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Die Multiplikation ist auf der gesamten Grundmenge des Körpers definiert. Aber nur wenn man das neutrale Element der Addition ausschließt, muss sich eine abelsche Gruppe ergeben.

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Wie mit 0 multipliziert wird, ist der Gruppe (K\{0}, ·) egal. Erst durch die Distributivgesetze wird 0·a = a·0 = 0 erwungen. Oder wie im vorliegenden Fall lediglich a·0 = 0, weil ein Distributivgesetz fehlt.

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Okay. Vielen Dank für die Erklärung :)

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Hi ich habe da mal eine frage in deiner Antwort sagst du :

"Dem ist nicht so: damit (K,+,·) ein Körper ist, muss (K\{0}, ·) eine abelsche Gruppe sein, nicht (K,·)."

In der Aufgabe Punkt 2. sagt er aber "(K\ {0} ,*) ist eine abelsche Gruppe." Wie passt das den mit der Antwort zusammen ?

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Ich habe da mal eine Gegenfrage: Was passt da deiner Meinung nicht zusammen?