bestimmte rekursive Folge mit vollständiger Induktion aus natürlichen Zahlen

Question

rekursive Folge gegeben:

a1=0

a_n+1=1/3 * (a_n+1)

Zu zeigen:

a) a_n <= a_n+1

b) a_n <= 0,5

Dann soll man noch damit zeigen dass an konvergent ist und den Grenzwert bestimmen.

Answer 1

zeige zuerst per Induktion b).

Dann kannst du a) einfach nachrechnen.

Da alle Folgenglieder größer gleich 0 sind, und wegen a)+b) ist die Folge beschränkt und monoton. Somit konvergiert sie. Für den Grenzwert gilt:

$$ \lim \limits_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim \limits_{n \to \infty} a_n $$

Gruß