Komplexe Zahlen Lösung folgender Gleichung: (z+i)³ = 8i

Question

habe folgende Aufgabe. (z+i)³=8i Die Lösungen der Gleichung sollen berechnet werden.

Mein Ansatz ist:

(z+i)³=8i   Ι 3. √

z+1=³√8i                  ³√8=2

ist dann z= 2e^pi/2 -i  ??

Meine Frage ist dann wie es weiter geht, weil ich als Lösung folgendes von einem habe, aber das nicht so ganz nachvollziehen konnte. Er sagt:

z₁= 2e^{iπ/6 + 2π0/3} = 2cos(π/6 + 2π0/3) +i(sin(π/6 + 2π0/3)-1)

z₂= 2e^{iπ/6 + 2π1/3} = 2cos(π/6 + 2π1/3) +i(sin(π/6 + 2π1/3)-1)

z₃= 2e^{iπ/6 + 2π2/3} = 2cos(π/6 + 2π2/3) +i(sin(π/6 + 2π2/3)-1)

und da sollen dann flgende Ergebnisse herausgekommen:

z₁ = √3

z₂ = -√3

z₃ = -3i

Also ist das denn dann so richtig und wie komme ich jeweils dahin? :( Bin etwas verwirrt.

!

Answer 1

x^3 = 8·i --> x = - √3 + i ∨ x = √3 + i ∨ x = - 2·i

x = z + i --> z = x - i

Comments

Das verstehe ich jetzt nicht so ganz.

wie kommt man auf x³ =8*i

Ich kann das nicht mit derr obigen Gleichung verbinden

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x^3 = 8·i = 8·e^{90°·i}

x1 = 2·e^{30°·i} = √3 + i

x2 = 2·e^{150°·i} = - √3 + i

x3 = 2·e^{270°·i} = - 2·i

Eigentlich sollte das nicht so schwer sein.

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Okay das habe ich jetzt verstanden. Aber der Lösungsweg mit den Lösungen ist richtig?

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Aber der Lösungsweg mit den Lösungen ist richtig? 

Das ist doch im Prinzip genau so wie ich es gemacht habe.