Was ist die Mächtigkeit der Endomorphismen von K^2

Question

Sei K = Z/3Z. Bestimmen Sie |End(K^2)|

Ich weiss, dass ein Endomorphismus eine lineare Abbildung ist, welche einen Vektorraum wieder auf sich selbst abbildet aber muss nicht unbedingt surjektiv sein.

Ich weiss aber nicht wie ich jetzt die Mächtigkeit herausfinde.

Answer 1

Z.B. indem du dir alle Endomorphismen aufschreibst. Allzu viele sind das nicht.

Oder du überlegst dir, dass eine lineare Abbildung durch Angabe der Bilder der Basisvektoren des Urbildraumes eindeutig bestimmt ist. Damit kommst du noch schneller zur Lösung.

Comments

ist dann die Lösung zwei ?

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Nein, es sind mehr.
Übrigens habe ich oben Unsinn erzählt: Alle Endomorphismen aufzuschreiben, ist doch keine so gute Idee; es sind ziemlich viele. Also mach dir lieber Gedanken über den zweiten Vorschlag.

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Endomorphismus:

K^2-->K^2

(x,y)-> x* (1,0)+y*(0,1)

Meinst du so?

Ich verstehe aber hier trotzdem nicht, wie ich dann auf die Kardinalität schliessen kann.

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Die Frage ist eher, was du da meinst...

Jedenfalls ist \(\left\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\right\}\) eine Basis von \(\mathbb Z_3^2\).

Du kannst jetzt jedem dieser Basisvektoren einen beliebigen Vektor aus dem Bildraum (hier \(\mathbb Z_3^2\)) zuordnen; und durch jede Zuordnung wird genau eine lineare Abbildung \(\mathbb Z_3^2\to \mathbb Z_3^2\) definiert.

Wieviele Möglichkeiten hast du, den Basisvektoren jeweils einen Vektor aus \(\mathbb Z_3^2\) zuzuordnen?

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dann komme ich auf 9 stimmt das?

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Für jeden Vektor hast du 9 Möglichkeiten. Du musst jetzt dem ersten Basisvektor eine dieser 9 Möglichkeiten zuordnen, und dem zweiten auch. Wie viele Möglichkeiten hast du also insgesamt?

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ja 9*9 also 81. aber ich habe gedacht für jeden Vektor habe ich nur 3 Möglichkeiten.

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Du willst doch eine lineare Abbildung \(\mathbb Z_3^2\to\mathbb Z_3^2\) haben. D.h. du musst jedem Basisvektor ein Bild aus dem Bildraum zuordnen, also aus \(\mathbb Z_3^2\). Und \(\mathbb Z_3^2\) enthält 9 Elemente.