Teilring von R beweisen, Zeigen Sie, dass σ ein Teilring von ℝ ist

Question

Wie beweise ich formal, dass bei der Aufgabenstellung:

Es seien D eine natürliche Zahl und O = {a + b√ D ∣ a, b ∈ ℤ} ⊆ ℝ.

Zeigen Sie, dass O ein Teilring von ℝ ist.

Nun müsste ich doch in dieser Art anfangen

a_1,2, b_1,2, ∈ O

(a₁ + b₁√D) - (a_{2 +} b₂√D) ∈ O

und

(a₁ + b₁√D) * (a_{2 +} b₂√D) ∈ O

Wie beweise ich das?

Answer 1

\(x \in O\) wenn es ganze Zahlen \(a\) und \(b\) gibt mit \(x = a+b\sqrt{D}\).

Gruß

Comments

das bedeutet?

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das beweist doch noch gar nicht, ob es ein Teilring ist

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Das wurde auch nicht durch diese Antwort behauptet. Ich wollte lediglich klar machen, wie man hier nachweislich überprüfen kann, wann eine reelle Zahl Element von \(O\) ist. Ich gehe davon aus, dass der Fragesteller die Kritierien für einen Unterring selbst ermitteln kann (oder bereits weiß).

Answer 2

Teilring heißt auch schon mal Unterring ist eine

Teilmenge eines Ringes, die mit den vorgegebenen

Operationen selbst ein Ring ist.

Musst also zeigen, ob für je zwei Elemente von

σ  die Summe und das Produkt auch wieder in σ sind

und ob die 0 in σ ist und ob mit jedem x aus σ

auch -x aus σ ist.