Wie lautet die Funktionsgleichung, wenn der Graph einer quadratischen Parabel...?

Question

p { margin-bottom: 0.25cm; line-height: 120%; }Der Graph einer quadratischen Parabel verläuft durch den Ursprung, hat bei x = 3 einen Extrempunkt und schließt mit der x-Achse im ersten Quadranten eine Fläche mit dem Inhalt A = 36 FE ein.

Bisher habe ich NUR:

p { margin-bottom: 0.25cm; line-height: 120%; }

f(x) = ax² + bx + c

f'(x) = 2ax + b

f''(x) = 2a

f(0) = 0 ; f''(3) = 2a

f(0) = 0 → a*0² + b*0 + c = 0 → c=0

f(x) = ax² + bx

Wie komme ich z.B. auf die Nullstellen bzw. die Integrationsgrenzen? Ich scheine etwas zu übersehen.

Answer 1

es kann eine nach oben oder unten geöffnete Parabel sein, aus der Information, bei x=3 ist ein Extrempunkt, kann Minimum oder Maximum sein, folgt auch bei x=6 liegt eine (weitere) Nullstelle,

c=0 hast du schon

f'(3)=0 somit 0=6a+b

stelle als weitere Gleichung auf

Integral (0 bis 6) ax^2+bx dx = 36

Answer 2

Der Graph einer quadratischen Parabel verläuft durch den Ursprung, hat bei \(x = 3\) einen Extrempunkt und schließt mit der x-Achse im ersten Quadranten eine Fläche mit dem Inhalt \(A = 36 FE\) ein.

im ersten Quadranten: Es gibt eine nach unten geöffnete Parabel

\(f(x)=a[x(x-N)]=a[x^2-Nx]\)

\(f'(x)=a[2x-N]\)

\(f'(3)=a[6-N]=0\)    \(N=6\)

\(f(x)=a[x^2-6x]\)

\(36= \int\limits_{0}^{6}a[x^2-6x]dx=a\int\limits_{0}^{6}[x^2-6x]dx=a[\frac{1}{3}x^3-3x^2]_{0}^{6}=a[\frac{1}{3}\cdot 6^3-3\cdot 6^2]-0\)

\(36= 6^2\cdot a[2-3]\)

\(1= a[-1]\)   (a=-1\)

\(f(x)=-x^2+6x\)