Zeige dass es ein ξ ∈ R gibt mit f(ξ) = f(ξ + π).

Question

Könnte mir jemand dazu die Antwort geben?

Sei f : R → R eine 2π-periodische Funktion, d.h. f(x) = f(x + 2π) für alle x ∈ R. Zeigen Sie, dass es ein ξ ∈ R gibt mit f(ξ) = f(ξ + π). 

Comments

vielleicht noch so was wie Stetigkeit vorausgesetzt ?

Answer 1

es ist wichtig, dass f stetig ist.

Also, wir wählen uns ein a aus den reellen Zahlen und betrachten f auf [a,a+2π].

Wir gehen davon aus, dass f(a) ungleich f(a+π) ist, denn sonst wäre die Lösung einfach, nämlich ξ = a.

Nun nehmen wir an, dass f(a+π) > f(a) ist, sonst betrachten wir einfach -f.

Jetzt definieren wir uns g: ℝ → ℝ mit x ↦ f(x-π).

g ist insbesondere stetig und g(a+π) = f(a) bzw. g(a+2π) = f(a+π) > f(a).

Da f(a+π) > f(a) und f(a+2π) = f(a) ist, musst du nur noch zeigen, dass f und g im Intervall

[a+π,a+2π] einen Schnittpunkt haben.

Daraus folgt f(ξ) = g(ξ) = f(ξ-π).