zwei konvergente Reihen Beweise: Summe von a_(n)b_(n) konvergiert absolut.

Question

Kann mir jemand mit den Beweisen dieser beiden Aufgaben helfen?

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Ich brauche Hilfe und suche einen Lösungsweg für folgende Aufgaben:

Seien ∑ a²_n  und ∑ b²_n zwei konvergente Reihen. Zeigen Sie:

1.) ∑ a_nb_n konvergiert absolut

2.) ∑ (a_n + b_n)² kovergiert

Hinweis: Bei allen Reihen durchläuft n die natürlichen Zahlen.

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Wie ist folgendes anhand obiger Information zu zeigen?

Als Hinweis wird angegeben, dass alle Reihen n die natürlichen Zahlen durchläuft

Danke

Answer 1

Tipp:

a) \(|a_n b_n| \leq a_n^2+b_n^2\)

b) Binomische Formel und a) verwenden.

Gruß

Comments

Kannst du mir bitte deine komplett Lösung für diese Aufgabe zeigen @Yakyu, wäre dies bitte möglich?

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Warum eine Komplettlösung? Die b) steht da ja im grunde schon fertig. Wo ist das Problem bei der a)?

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Im Grundegenommen dient mir die Komplettlösung einfach nur als Vergleich, daher mag ich es gern, dass meistens noch die Lösung dazu gegeben wird und eventuell dient das auch noch anderen :P

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Ja zum Abschreiben vielleicht. Dafür sind hier andere zuständig. Wenn du eine Lösung hast, die kontrolliert werden soll, dann stell sie hier rein.

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a)
zu zeigen:  Sn := ∑|anbn| beschränkt.
Wenn bn beschränkt ist und die Reihe ∑ an absolut konvergent ist, dann konvergiert auch die Reihe ∑anbn absolut. Die Folge bn ist nach Voraussetu´zung beschränkt ΙbnΙ < B für alle n, da ∑|an| konvergiert, sind die Partialsummen An := ∑an beschränkt, etwa An < A. Wegen 0 < Sn = ∑ |anbn| ≤ B ∑ |an| < BA

passt das?

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Wie kommst du drauf, dass \(\sum a_n\) absolut konvergent ist?

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Kann man das nicht aus ∑ a_n*b_n folgern? Ich hätte es auch lieber mit dem Majorantenkriterium gemacht, aber ich weiß nicht wie.

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Nein kann man nicht, warum auch?

Majorantenkriterium ist auch das worauf ich mit dem Tipp in a) hinaus wollte. \(\sum a_n^2+b_n^2\) ist nach Voraussetzung eine konvergente Majorante für \(\sum |a_n b_n|\).

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a) Dann sollte es doch genügen, wenn ich sage, dass ∑ a²n und ∑ b²n nach Voraussetzung einer konvergente Majorante für ∑ an*bn ist. (Also das was du schon geschrieben hast und damit ist die Aufgabe erledigt)?#

b) (an + bn)² = a²n + 2* abn + b²n, aber wie gehts weiter?

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a) Jein, du solltest wahrscheinlich schon begründen warum die Ungleichung gilt. Und nicht die Reihen sind jeweils eine konvergente Majorante sondern ihre Summe.
b)Wenn du 3 konvergente Reihen addierst kriegst du immer noch einen endlichen Wert raus.

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Da bin ich gerade etwas überfordert mit b) Wie lautet denn die Begrüdung?

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Der Grenzwert der Summe zweier konvergenter Folgen ist die Summe ihrer Grenzwerte.

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Danke schön. Denke das wars dann auch erstmal