Zeige: Auch 1 ist Häufungspunkt der Folge (an)

Question

Ich habe bei dieser Aufgabe  leider keine Ahnung wie ich da rangehen soll. Kann mir da jemand helfen?

Answer 1

du sollst zeigen, dass für jede Umgebung um \(1\) unendlich viele Folgenglieder von \(\{a_n\}\) liegen.

Gruß

Comments

ok. und das geht wie? :)

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Indem du die Voraussetzung aus der Aufgabe verwendest.

Beginne damit eine beliebige Umgebung um \(1\) zu betrachten. Warum liegen in dieser Umgebung unendlich viele Glieder der Folge?

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komme da leider immer noch nicht weiter.

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In jeder Umgebung um 1 liegt nach Voraussetzung ein Häufungspunkt der Folge. Wähle jetzt eine geeignete Umgebung um einen solchen Häufungspunkt.

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also ich habe mir jetzt mal folgendes gedacht:

Jedes 1−1/n ist ein Häufungspunkt von (an)

Komme ich damit irgendwie weiter?

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Ich habe dir im letzten Kommentar quasi schon die Lösung in Worten hingeschrieben. Wo ist der Bezug zu dem was ich dir geschrieben habe?

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du hast ja von einer geeigneten zmgebung gesprochen. Die meine ich mit  1-1/n.
weil wenn ich da jetzt unendlich einsetze, habe ich den häufungspunkt 1

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Das ist keine Umgebung sondern eine Zahl.

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abeer die Umgebung ist doch mit [-1,1] schon vorgegeben?? :(

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[-1;1] ist keine Umgebung um \(1\). Warum soll das vorgegeben sein? In meiner Antwort steht ganz klar "für jede Umgebung". Weißt du was ein Häufungspunkt ist?

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Der Häufungspunkt beschreibt doch einen Punkt der Folge, an dem sich unenlich viele Punkte der Folge befinden. Außerdem ist er der Grenzwert der Teilfolge.
Ich habe ja jetzt mit 1-1/n eine Teilfolge, die wenn ich sie gegen unendlichen laufen lasse, einen Häufungspunkt beschreibt

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Und warum sollte das eine Teilfolge der betrachteten Folge sein?

Der Häufungspunkt muss nicht in der Folge vorkommen!

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Wir hatten das in der Vorlesung leider noch nicht, ich hab also bisher nur halbwissen aus dem Internet und stehe im Moment total auf dem Schlauch was ich jetzt berechnen muss :(

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sitze aktuell an der gleichen Aufgabe.
Mein erster Gedanke war auch, es über den Grenzwert einer Teilfolge der Folge zu versuchen, da dies in der Vorlesung angeschnitten wurde.

Yakyu, was ist in diesem Fall denn eine geeignete Umgebung?

Vielleicht (1-ε,1+ε)?

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Du musst hier gar nichts berechnen. Es reichen einfache Argumentation auf Basis der Definition eines Häufungspunktes. 
@SirBuffalo: Jede die in der betrachteten Umgebung um 1 liegt.
Und ja man kann hier auch mit einer geeigneten Konstruktion eine Teilfolge finden, die gegen 1 konvergiert.

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Die Aufgabe lautet ja leider "Zeigen Sie" Ich denke nicht, dass ich da nur einen Text schreiben kann. Ich weiß leider immer noch nicht, was genau du mit der Umgebung meinst

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Eine Umgebung um 1 ist ein Intervall \((1-\varepsilon, 1 + \varepsilon)\) mit \(\varepsilon>0\).

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selbes problem bei mir

@sirbuffalo da du ja scheinbar das gleiche blatt bearbeitest wie ich, hast du schon Aufgabe 9 fertig?

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Okay
Ja bis dahin habe ich das verstanden.
Jetzt muss ich doch zeigen, dass in genau dieser Umgebung unendlich viele Folgeglieder von an liegen.
Und da komme ich nicht weiter.

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...ok

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Jo auch bei Herrn Swears.

Habe bis hierhin Aufgabe 1 und 3. Die 9 noch nicht...

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ok^^

Das habe ich jetzt verstanden.

Reicht es denn nun diesen Term als Lösung der Aufgabe zu notieren, mit dem Hinweis das daraus folgt, dass 1 ein HP ist?

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ok
Eine Sache ist mir unklar, Warum in (1-ε,1) und nicht in (1-ε,1+ε)?

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Spielt keine Rolle.

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@sirbuffalo wie schreibst du das jetzt auf?
es wird ja nicht reichen den term aufzuschgreiben

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Ja das ist nur der Ansatz.
Werde jetzt noch etwas zu Häufungspunkten lesen und mich morgen früh mal daran setzen.

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@ yakyu
wäre dir auf ewig dankbar, wenn du mir noch sagen könntest was ich noch machen muss? :D
Ich muss das Blatt morgen abgeben :(

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Schon schade, dass ich dir hier jeden Schritt der Lösung aufschreiben musste. Eine Anleitung zum Abschreiben werde ich mir aber verkneifen, wenigsten kannst du dadurch einen minimalen Beitrag Eigenleistung in deine Abgabe stecken. Wann du dein Blatt abgeben musst ist mir ehrlich gesagt egal.

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du antwortest hier doch freiwillig, wenn du keine Lust hast etwas genauer zu erklären dann lass es eben aber werd nicht direkt unhöflich^^ !

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Soso unhöflich und keine Lust etwas genauer zu erklären. Danke für die Zeitverschwendung.