wie viele Möglichkeiten gibt es eine x nach n Würfen zu würfeln?

Question

Es muss doch eine kürzere Möglichkeit geben alle Kombinationen aufzuschreiben und sie gewichtet nach den Permutationen zu Summieren.

zb für ein 18 mit 4 Würfeln gibt es diese Kombinationen:
1+5+6+6=18  12  Permutationen
2+4+6+6=18  12  Permutationen
2+5+5+6=18  12  Permutationen
3+3+6+6=18     6  Permutationen
3+4+5+6=18  24  Permutationen
3+5+5+5=18    4  Permutationen
4+4+4+6=18    4  Permutationen
4+4+5+5=18    6  Permutationen
Ergibt  70 Permutationen insgesamt.

gibt es eine allgemeine Formel (am besten für ein k Seitigen Würfel) nach n Würfen eine x gewürfelt zu haben?

Comments

Ergenzender Vorschlag:
Eine andere Möglichkeit die sich wahrscheinlich in eine Formel passen würde wäre doch:
Man hat x-n Kugeln, Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese Kugeln auf n Boxen zu verteilen
ohne dabei in irgend einer Box über k-1 Kugeln zu tun.
Also beim Beispiel ein 18 mit 4 Würfeln sieht das so aus:
14 Kugeln auf 4 Boxen zu verteilen und in keiner mehr als 5 Kugeln zu tun.
(dann hat man am Ende eine Gleichverteilung mit 4 Boxen zwischen 0 und 5 Kugeln)

Answer 1

die Formel dazu herzuleiten ist in der Tat nicht sehr easy. Eine Herleitung ist der folgende Grundgedanke:

Die Anzahl der Möglichkeiten \(c\) mit einem \(s\)-seitigen Würfel, nach \(n\) Würfen die Augensumme \(p \in \{n, .., sn \}\) zu erhalten entspricht dem Koeffizienten von \(x^p\) im Polynom:

$$ f(x) = (x + x^2 + ... + x^s)^n $$

Für \( d= \lfloor \frac{p-n}{s} \rfloor\) ergibt sich die Formel:

$$ c = \sum_{k=0}^d (-1)^k \binom{n}{k} \binom{p-sk-1}{n-1} $$

Mit steigendem \(n\) wird es also immer komplexer \(c\) zu berechnen.

Eine ausführliche Herleitung mit weiteren Analysen findest du hier:

http://mathworld.wolfram.com/Dice.html

Gruß