Hauptbedingung, Nebenbedingung, Zielfunktion für möglichst kleine Fläche der Beete?

Question

Gesucht ist die hauptbedingung, nebenbedingung und die zielfunktion.

Ein Gärtner besitzt einen Vorrat von Umrandungssteine, der insgesamt für eine Strecke von 10m reicht. Er möchte damit ein quadratisches Rosenbeet und einen kreisförmiges Tulpenbeet abgrenzen. Welche Maße sollten diese Beete erhalten, wenn die Gesamtfläche - und damit der Bedarf an Pflanzen - möglichst klein ausfallen soll?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Extremwertprobleme. Hauptbedingung, nebenbedingung..

Stichworte: extremwertaufgabe,hauptbedingung,nebenbedingung

Ein Gärtner besitzt umrandundssteine für eine strecke von 10m. Er möchte damit win kreisförmiges rosen und ein quadratisches tulpenbeet abgrenzwn. Welche maße r und x sollten diese beete erhalten, wenn die gesamtfläche und da mit der pflanzenbedarf möglichst klein ausfallen soll? 

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Vom Duplikat:

Titel: Hauptbedingung, Nebenbedingung. Kreisförmiges und quadratisches Tulpenbeet mit maximaler Fläche

Stichworte: extremwertaufgabe,rund,quadrat,nebenbedingung,hauptbedingung,funktion

Einem Gärtner stehen Umrandungssteine für eine Strecke von 10m zur Verfügung. Er möchte damit ein kreisförmiges und ein quadratisches Tulpenbeet abgrenzen.

Welche Maße r und x sollen diese Beete erhalten, wenn die Gesamtfläche und damit der Pflanzenbedarf möglichst klein ausfallen soll?

Mein Ansatz:

Hauptbedingung: A(r,a)= π*r^2+x^2

Nebenbedingung:  10=2*π*r+4*a

Zielfunktion:

(10-4*a/2π) = r

A(x) = π*(10-4*a/2π)^2+x^2

A(x) = π*100^2-80a+16a^2/ (4*π)^2 + x^2

Wie gehe ich weiter vor?

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kann mir bitte jemand weiterhelfen?

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ich habe nun einen weiteren Ansatz A(x) =25-20x-4x^2

Aber weiter komme ich nicht...

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genau ab dort komme ich nicht mehr weiter.

A(x) = (π*100²-80x+16x²)/ (4*π²) + x²

Answer 1

Hauptbedingung: A= π  *r^2 +x^2

Nebenbedingung: u= 10=2 π *r +4x

-->x = (10 - 2π *r)/4

-->A=   π  *r^2 +  ((5 -π *r)/2 )^2

-->A'=....

Comments

Verstehe das ganze thema nicht. Was soll ich denn machen? 

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Habt Ihr Extremwertaufgaben schon behandelt?

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1 stunde nur. Die lehrerin sammelt es morgen ein brauche das unbedingt 

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Du mußt jetzt die 1. Ableitung von A bilden und 0 setzen.

Dann bekommst du r . Das r setzt Du in die Gleichung von x ein.

Dann mußt Du noch die 2. Ableitung  bilden, um das Minimum nach zuweisen.

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So etwa? 2r+2a=0 Habe aber zwei variablen

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Schau bitte , da steht kein a

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Dann so... 2r+2x

Answer 2

Hauptbedingung: A=a^2 +π r^2

Nebenbedingung :10=U=4a +2πr

Zielfunktion: A=  a^2 + π((10-4a)/2π)^2

Comments

Ein kleiner Fehler

Zielfunktion: A=  a² + π((10-4a)/2π)²

sondern

Zielfunktion: A=  a² + π((10-4a)/ (2π) )^2

mfg Georg

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das mein ich doch

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Zielfunktion: A=  a² + π((10-4a)/2π)2

meiner Meinung nach bedeutet dies

Zielfunktion: A=  a² + π( ((10-4a)/2 ) * π )2

mfg Georg

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Kann mir jemand die anschließende Extremwertberechnung einmal erklären? Kriege da das Minimum für x=10/(π+4) raus. Was durch eine Kontrolle in der Nebenbedingung nicht stimmen kann

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a = 1.4
r = 0.7

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Aber um dann r zu bestimmen muss ich doch \( \frac{10}{π+4} \) in die Zielfunktion einsetzen oder nicht?

Und da kriege ich 3.5 raus ...

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Aber um dann r zu bestimmen muss ich doch \(10/(\pi + 4)\) in die Zielfunktion einsetzen oder nicht?

Nein - die Zielfunktion gibt Dir die Fläche \(A\) zurück. \(r\) bekommt man aus der Nebenbedingung. Das hat aber Grosserloewe bereits gemacht! Es ist ein Zwischenergebnis, was er nicht explizit aufgeschrieben hat. Es war$$r = \frac{U-4a}{2\pi}$$(s.o.) und damit ist$$ r = \frac{10 - 4\frac{10}{\pi + 4}}{2\pi}=\frac{5}{\pi +4} \approx 0,7$$

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Ahso, okay danke!

Answer 3

Hauptbedingung: A(r,a)= π*r²+x²

Nebenbedingung:  10=2*π*r+4*x

....

A(x) = π*(10-4* x/2π)²+x²

A(x) = (π*100²-80x+16x²)/ (4*π²) + x²

Jetzt kannst du mal nach x ableiten. (Vorher: Nochmals nachrechnen!) 

Comments

genau ab dort komme ich nicht mehr weiter.

A(x) = (π*100²-80x+16x²)/ (4*π²) + x²

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A(x) = (π*100²-80x+16x²)/ (4*π²) + x²

A(x) =  1/(4π^2) * (π*100²-80x+16x²)+ x²   | Wie gesagt: Nun nach x ableiten. 

A'(x) = 1/(4π^2) * ( -80 + 32x) + 2x      

1/(4π^2) * ( -80 + 32x) + 2x      = 0.      

Das nun nach x auflösen. 

Solltest du noch nicht ableiten können, musst du hier die Scheitelpunktform von Parabeln repetieren und einsetzen. 

A(x) = (π*100²-80x+16x²)/ (4*π²) + x²

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Hätte man A(x) =  1/(4π²) * (π*100²-80x+16x²)+ x²  nicht weiter vereinfachen könne, um dann abzuleiten?

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Das ist nicht nötig, weil bei der Ableitung sehr viel wegfällt, ist es besser, gleich abzuleiten (wenn man schon ableiten kann). Ansonsten: Umformen und Scheitelpunktform nutzen.