Kostenfunktion mit K(x)=0,1x^3 - 3x^2 +30x+500 lösen. Langfristige Preisuntergrenze Stahlgefässe

Question

Ich hab ein Problem und es wäre super wenn jemand hier alles lösen kann.

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Die Sielhorst GmbH ist ein mittelständisches Unternehmen, das hochwertige Edelstahlgefäße anfertigt. Der ertragsgesetzliche Kostenverlauf wird dadurch eine ganzrationale Funktion dritten Grades beschrieben. Bei 20 Produzierten Mengeneinheiten fallen mit 700 GE genau halb so viele Gesamtkosten wie bei 30 ME an. Die Grenzkosten betragen am Anfang (d.h. bei x=0) 30 GE. Die Sielhorst GmbH rechnet mit Fixkosten in Höhe von 500 GE. Die Kapazitätsgrenze ist bei 34 ME erreicht.

a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung für die Gesamtkosten K

b) Bestimmen Sie rechnerisch die Bereiche degressiver und progressiver Kostenzunahmen. Gehen Sie dabei von K(x)=0,1x³-3x²+30x+500 aus

c) Die Sielhorst GmbH muss den Preis, den der Markt vorschreibt auf 67,5 GE festlegen. Untersuchen Sie bei welcher produzierten Menge der Gewinn maximal wird und wie hoch der maximale Gewinn ist.  

d) Wegen einer allgemeinen Verschlechterung der Wirtschaftslage kann die gewinnmaximale Ausbringungsmenge nicht abgesetzt werden. Ermitteln Sie die kurzfristige Preisuntergrenze und den zugehörigen Preis

e) Zeigen Sie, dass die langfristige Preisuntergrenze ca. 34,90€ beträgt und ungefähr bei 20,8 ME liegt

Answer 1

Die Sielhorst GmbH ist ein mittelständisches Unternehmen, das hochwertige Edelstahlgefäße anfertigt. Der ertragsgesetzliche Kostenverlauf wird dadurch eine ganzrationale Funktion dritten Grades beschrieben.

K(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d 

Bei 20 Produzierten Mengeneinheiten fallen mit 700 GE

K(20) = 700

8000·a + 400·b + 20·c + d = 700

genau halb so viele Gesamtkosten wie bei 30 ME an.

K(30) = 1400

27000·a + 900·b + 30·c + d = 1400

Die Grenzkosten betragen am Anfang (d.h. bei x=0) 30 GE.

K'(0) = 30

c = 30

Die Sielhorst GmbH rechnet mit Fixkosten in Höhe von 500 GE.

K(0) = 500

d = 500

Das LGS hat die Lösung

a = 0.1 ∧ b = -3 ∧ c = 30 ∧ d = 500

K(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 500 

Comments

b) Bestimmen Sie rechnerisch die Bereiche degressiver und progressiver Kostenzunahmen.

K(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 500

Degressiv K''(x) < 0

x < 10

Progressiv K''(x) > 0

x > 10

 

c) Die Sielhorst GmbH muss den Preis, den der Markt vorschreibt auf 67,5 GE festlegen. Untersuchen Sie bei welcher produzierten Menge der Gewinn maximal wird und wie hoch der maximale Gewinn ist.  

p(x) = 67.5

E(x) = x * p(x) = 67.5x

G(x) = E(x) - K(x) = 67.5x - (0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 500) = -0.1x^3 + 3x^2 + 37.5x - 500

G'(x) = 0

- 0.3·x^2 + 6·x + 37.5 = 0

x = 25 (Maximum)

G(25) = 750

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Danke, gibt es auch eine Lösung für d) und e) ?

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PS.: Wie haben Sie eigentlich degressiver + progressiver Kostenzunahme gerechnet?

Ich finde mein Unterlagen nichts über diese Formel.
Danke, wenn Sie mir wie möglich Antworten bzw. helfen können.

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degressiv (unterproportional): Die Kosten nehmen bei steigender Bezugsgrößenmenge langsamer zu. Die Stückkosten verringern sich somit bei zunehmender Ausbringungsmenge (z. B. aufgrund von Nachlässen, die bei hoher Mengenabnahme gewährt werden).

Damit haben wir eine linksgekrümmte Funktion und damit sollte K''(x) < 0 sein.

progressiv (überproportional): Die Kosten nehmen bei steigender Bezugsgrößenmenge stärker zu. Die Stückkosten steigen dabei an (z. B. aufgrund von Überstunden).

Damit haben wir eine rechtsgekrümmte Funktion und damit sollte K''(x) > 0 sein.

Siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Kostenfunktion_(Wirtschaft)

natürlich könnte ich für d) und e) auch noch eine Lösung machen. Aber ich würde dich bitten, das zunächst auch mal selber zu probieren.

d) Die kurzfristige Preisuntergrenze finden wir als Variable Stückkosten im Betriebsminimum.

e) Die langfristige Preisuntergrenze finden wir als Stückkosten im Betriebsoptimum.

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Danke, ich würde auch gerne alleine schaffen, aber ich hab echt mit diesem Aufgabe keine Ahnung gehabt. Ich habe mit diesem Aufgaben echt viel verpasst und deshalb lerne ich jetzt von "Ihnen" bzw. hier. Und jetzt habe ich begriffen, wie das geht. Danke sehr,  es hat mir sehr gut geholfen.

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Ich hab bei Aufgabe e) mit langfristige Preisuntergrenze gerechnet,

und leider gibt es bei p,q-Formel ein ERROR Zahl bei mir :-(

Ich komm einfach nicht mehr weiter, hab ich falsch gemacht?

Kannst du mir noch einmal Helfen? :-(

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K(x)=0,1x³-3x²+30x+500

k(x)=0,1x²-3x+30+500/x

k'(x)=0,2x-3+500/x²

 

  ---> 0,2x-3+500/x²   = 0  | *x²

         0,2x³+3x²+500 = 0  | :0,2

         x³ - 15x²+2500 =0

 

NEWTON-Verfahren mit f(x)=x³-15x²+2500 ; f'(x)=3x²-30x

Ergebnis ist -10

 

Polynomdivision x³-15x²-0x+2500 : (x+10) = x²-25x+250

 

p,q-Formel: ERROR

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Ich glaube 

k'(x) = 0.2·x - 3 - 500/x^2

Man beachte das MINUS in der Ableitung!

Wenn ich das gleich Null setze bekomme ich eine Lösung 

x = 20.78616888

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OK, das wusste ich dann nicht, dass es Minus sein sollte. Danke.

Es hat jetzt bei mir auch geklappt mit dem Ergebnis x=20,78617

Bei langfristige Preisuntergrenze, braucht man nur bis zum Newtonverfahren?

Was ist mit Polynomdivision und p,q-Formel? Braucht man das nicht zu rechnen?


Da ich ja zeigen muss, dass die langfristige Preisuntergrenze ca. 34,90€ beträgt und ungefähr bei 20,8 ME liegt.

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Du hast die doch bei 20.8 gefunden. Dann brauchst du auch keine Polynomdivision machen.

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Genau, aber die Preis mit ca. 34,90€ habe ich noch nicht bewiesen, oder muss ich das nicht?

Trotzdem danke. Gleich hab ich echt mit Mathe Feierabend :D

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Du brauchst doch nur k(20.8) ausrechnen. Das ergibt die 34.90 Euro.