Regeln von de l´Hospital und dessen Grenzwert

Question

Aufgabe (Regeln von de l'Hospital):

a) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte.

iii) \( \lim \limits_{x \searrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}+\ln x\right) \)

iv) \( \lim \limits_{x \nearrow \frac{\pi}{2}}(\sin x)^{\tan (x)} \)

Zu iii) Wie geht es hier? Bevor ich die Regel anwende, muss ich ja beispielsweise 0/0 haben, oder? Wenn ich aber 0 einsetze, dann müsste ich doch 1 / 0 rausbekommen, oder? Oder kann möglicherweise ln x in den Zähler bringen? Also nur so eine Idee.

Dann würde ich die Ableitung bilden, die nach meiner Meinung \( -\frac{\cos (x)}{\sin ^{2}(x)} \) wäre oder? Kann mich aber auch stark irren und irgendwo vertan haben.

Dann ist der Grenzwert doch 0 oder?

Bei IV) weiß ich ehrlich gesagt nicht weiter... Tan als Exponent verwirrt mich etwas.

Answer 1

Zu iii)   Wie geht es hier? Bevor ich die Regel anwende, muss ich ja beispielsweise 0/0 haben, oder?

oder  unendlich / unendlich 

hier hast du den Fall    unendlich - unendlich.  Also besser erst mal umformen

(alles auf einen Bruchstrich)

(ln(x)*sin(x)  +  1  )  /   sin(x)

Dann hast du bei ln(x)*sin(x)  den  Grenzwerttyp      - unendlich * 0

und machst daraus    sin(x)  /  (1/ln(x) )    Das wäre wieder  0 / 0

also mit Hosp.        cos(x)  /    x      Das hätte den Grenzwert  +unendlich,

also    (ln(x)*sin(x)  +  1  )  /   sin(x)    auch  +unendlich

zu (iv) Das ist der Typ   0^0  .

Das geht auch mit Hosp., wenn man etwas umformt:

e ^{tan(x)*ln(sin(x))}     und im Exponenten ist das der Typ 0* (- unendlich)

aus dem machst du  ln(sin(x)  /    ( 1/tan(x) )  dann ist es

wieder   (- unendlich) / unendlich   also mit Hosp:

(1/ tan(x))     /  ( -1 / sin^2(x) ) = -sin(x) * cos(x)   also Grenzwert 0.

Also hat der Exponent von  e ^{tan(x)*ln(sin(x))}   den Grenzwert 0, das Ganze

also den Grenzwert 1.

Sowas kann man mit einem Funktionsplotter ganz gut überprüfen,

etwa  ~plot~sin(x)^{tan(x)} ~plot~

Comments

Oh cool danke ich werde es mir mal jetzt genau angucken um es zu verstehen :D Falls ich ein schritt nicht verstehe schreibe ich hier noch mal :D aber bis hierhin danke!

Answer 2

Hallo

zur Aufgabe iV)

Schau Dir diese Aufgabe an ,das ist zwar eine andere, aber das gleiche Prinzip.

https://www.mathelounge.de/203165/grenzwerte-mit-de-l%C2%B4hospital-bestimmen

Du mußt hier zur e- Funktion übergehen.

Lösung dieser Aufgabe ist 1