Approximation bei 2 Variablen

Question

habe mal eine Frage zur Approximation bei 2 Variablen.

Komme bei dieser Aufgabe beim nachrechnen einfach nicht weiter.

f (x,y) = ln(x²y³)      Bestimmen Sie nährungsweise den Funktionswert im Punkt (1,1 , 0,9) ???

Mit der Formel komme ich auch nicht weiter.

Vielen Dank schon jetzt

Answer 1

Schau mal dort : Beispiel 6.1

https://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe#Mehrdimensionale_Taylorreihe

gibt bei dir :   ( für Grad 1)

f( 1,1 , 0,9) = f(1;1) + f '_x(1;1) *0,1 + f '_y(1,1)*(-0,1 )

mit f ' _x (x;y) = 2/x   (denn ln(x^2 *y^2) = 2ln(x) + 2ln(y) ) und    f ' _y (x;y) = 2/y

 f( 1,1 , 0,9) = f(1;1) + f '_x(1;1) *0,1 - f '_y(1,1)*0,1

                    = 0  + 2*0,1 - 2*0,1 = 0

Wert mit Taschenrechner ist ca. -0,01..  . .

Bei Grad 2 wäre es eher schlechter :

f( 1,1 , 0,9) = f(1;1) + f '_x(1;1) *0,1 + f '_y(1,1)*(-0,1 )

          + 0,5* (  (-2/1) *0,01   -   2*1 *0,01   +  (-2/1)*0,01 )

            = 0 + 0,5 * (- 0,06) =  -0,03

vermutlich dann aber bei Grad 3 eine bessere Approximation.

Comments

Dankeschön.

Frage: Wie kommst du in deiner Lösung auf die 0,1 in der ersten Zeile ?

Also nochmal zu meinem Verständnis nochmal.

1. Ich leite die Funktion nach x und y ab.

2. Ich nehme die Punkte (1,1 , 0.9) und wandle, diese in besser berechenbare Punkte um = (1,1)

3. Ich nehme die Fomel f(x,y) = f(xo,yo) + fx(xo,yo)(x-xo) + fy(xo,yo)(y - yo)

4. In diesem Fall also und setze dann ein:  f(1,1 , 0,9) = f(1,1) + fx(1,1)(1-2) + fy(1,1)(0,9-2) ?

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Frage: Wie kommst du in deiner Lösung auf die 0,1 in der ersten Zeile ?

Das ist der Unterschied der x-Werte von 1,1 - 1 .

Also nochmal zu meinem Verständnis nochmal.

1. Ich leite die Funktion nach x und y ab.

2. Ich nehme die Punkte (1,1 , 0.9) und wandle, diese in besser berechenbare Punkte um = (1,1)

Genau !

3. Ich nehme die Fomel f(x,y) = f(xo,yo) + fx(xo,yo)(x-xo) + fy(xo,yo)(y - yo)

4. In diesem Fall also und setze dann ein:  f(1,1 , 0,9) = f(1,1) + fx(1,1)(1-2) + fy(1,1)(0,9-2) ?

                          Die roten Differenzen müssen die Unterschiede vom

besser berechenbaren Punkt um = (1,1)zum gesuchten Punkte sein.

also  x1-a1 und x2-a2 (bei Wikipedia).