Differenzenquotient, x-Werte

Question

Funktion: g(t)=0,025t^3 - 1,54t^2+ 23,95t+ 67,57

- häufigkeit bestimmter Suchbegriffe proportional zur häufigkeit von Grippefällen-> Anhaltpunkt für den Verlauf einer Grippewelle

t=Tag

g(t)= Häufigkeit der relvevanter Suchbegriffe in 1000 Anfragen zB g(t)=160 sind 160 Tsd Anfragen

Frage: Gibt es an einem Tag mehr als 150000 Anfragen muss in den folgenden Tagen mit einer Grippeeepidemie gerechnet werden. In welchem Zeitraum gab es pro Tag mehr als 150 000 Anfragen?

DIE ZEITRÄUME SIND 5.Tag-17.Tag. Aber wie komme ich auf die Tage rechnerisch? Ich habe die Differenz in der Wertetabelle am GTR abgelesen.

Comments

Zur rechnerischen Lösung könnte man ein Näherungsverfahren
z.B. das Newtonverfahren  anwenden.

Answer 1

Hi

du hast ja

0,025t³ - 1,54t²+ 23,95t+ 67,57 =150      | -150

0,025t³ - 1,54t²+ 23,95t -82,43  =0

Jetzt die Nullstellen bestimmen.

Ich komme auf

t1≈ 39,42   t2≈17,36     t3≈4,81

Am Graphen sieht man dass es im Zeitraum von t3 bis t2 über 150Tsd. Anfragen gab.

Außerdem bleibt der Graph ab t1 ständig über 150 Ts. Anfragen (intervallsgrenzen?)

~plot~0,025x^3 - 1,54x^2+ 23,95x+ 67,57;[[ 0 | 45 |50 | 200 ]]~plot~

Comments

0,025t³ - 1,54t²+ 23,95t -82,43  =0

Jetzt die Nullstellen bestimmen.

Ich kann bisher nur die Methoden mit dem Ausklammern, pq Formel, Substitution. Wie kann ich denn hier die Nullstellen ausrechnen (Polynomdivision) ? Wenn ja, kannst Du mir das bitte erklären? Ich hatte das zwar noch nicht, würde es aber gerne lernen :D

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Polnyomdivision wäre hier schlecht, da du ja siehst dass die Nullstellen ziemlich "krumm" sind. Ich würde dir das Newton-Näherungsverfahren nahelegen. Hier ein Link:

https://www.mathelounge.de/49035/mathe-artikel-das-newtonverfahren

Da ist das ganze sehr einfach erklärt.

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Das mit dem Start bzgl. zu meiner Aufgabe beim Newonschen Verfahren verstehe ich leider nicht.

Ich habe doch nämlich 2 Nullstellen. Soll ich dann x1= −4- f(-4)/f'(-4) und bei x2= -17-f(-17)/f'(-17) ?

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du musst das für die Nullstellen separat berechnen.

Ich würde für x1=4,5 - f(4,5)/f '(4,5) für die erste Nullstelle.

Bei der anderen Nullstelle musst du es dann nochmal separat berechnen.

Warum hast du eigentlich  -4 genommen? Die Nullstelle liegt doch ungefähr bei +4, und es ist besser wenn man einen Startwert hat, der näher an der Nullstelle ist.

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So, ich komme jetzt bis x1= 4,5- 146,438/11,6088 = -8,1144

Wie gehe ich jz weiter vor?

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du hast einen kleinen Fehler du hast ja f(t) als Funktion genommen in die du einsetzt. Du musst aber f(t)-150

als Funktion wählen, da diese Funktion ja die gesuchten Nullstellen hat.

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Also in die Funktion hier: 0,025t^3-1,54t^2+23,95t-82,43

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Ja ganz genau

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x1= 4,5 - (-3,56188)/11,6088 = 4,30683

und nun?

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Eine Frage is das nicht aufwändig jedesmal auszurechnen? Bin jetzt erst bei x3=4,81711

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Wie gesagt , das ist ein Näherungswert und 4,81711 ist schon sehr genau. Jetzt würde ich aufhören weiterzurechnen und die Nullstelle mit ≈ 4,8171 angeben

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müsste ich denn nicht noch zuerst bei x4 überprüfen?

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Nein. Du weißt ja nicht ob die Nachkommastellen ggf. bis ins unendliche weitergehen. Dann würdest du nämlich unendlich lange an den Nachkommastellen rumrechnen. Es reicht den Näherungswert der Nullstelle anzugeben.

Ich würd wie du bis x3 rechnen und die ersten 3 Nachkommalstellen mit angeben als Nullstelle.

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Danke Dir! Kann deinetwegen jetzt nun das Newton Verfahren!. Aber wann verwende ich denn das Newton Verfahren im Gegensatz zur Polynomdivision. Würde gerne Polynomdivision auch können, aber weiß nicht, wie ich es erlernen soll...

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Polynomdivision ist einfacher und liefert schneller Ergebnisse(bei mehreren Nullstellen).

Allerdings musst du für die PD eine Nullstelle kennen. Das kannst du durch Ausprobieren oder grafisches Lösen bewerkstelligen. Dann teilst du die gesamte Funktion durch den Linearfaktor dieser Nullstelle.

Hier ist ein Link:

https://www.matheretter.de/wiki/kubische-gleichungen#polyber

Ansonsten gibt es noch das Hornerschema was exakt dieselben Ergenisse wie die PD liefert, allerdings für manche

einfacher zu verstehen ist(vor allem wenn man die schriftliche Divsion nicht mehr so im Kopf hat)

https://www.matheretter.de/wiki/horner

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nochmal kurz eine frage zu den obrigen Nullstellen. Da müsste ich jetzt noch 17,5- f(17,5)/f'(17,5) nehmen und weiterrechnen bis ich eine Nullstelle erhalte? und dasselbe bei 39,5-f(39,5)/f'(39,5)?

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Genau. Alternativ kannst du die Nullstellen natürlich auch mit dem TR lösen sofern dir das erlaubt ist ;)

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die Nullstellen mit dem TR lösen, ist bisschen komplex. Dafür kann ich aber einfach mir das in der Wertetabelle anzeigen lassen, wo die Anfragen über 150Tsd. sind (1<t>31)

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Das ist aber eher ungenau. Hast du den klassischen casio fx991 TR?

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nein, einen tnspire cx

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Achso naja. Meistens kannst du Polynomdivision machen, wenn die Nullstellen zu "krumm" sind, dann mach das Newtonverfahren oder die Lösung mit der Wertetabelle wenn keine hohe Genauigkeit ergragt wird.

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"krumm" inwiefern?

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z.b. 4,57831294391.....  Polynomdivision ist hier viel zu aufwändig und deshalb unangebracht

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und bei keinen Kommazahlen wäre Polynomdivison angebracht?

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Ja dann kannst du die erste Nullstelle gut erraten oder mit Tr lösen und als Linearfaktor schreiben.

Answer 2

wenn dein Rechner auch Gleichungen lösen kann, setzt du einfach

0,025t³ - 1,54t²+ 23,95t+ 67,57 = 150 das gibt

t=39,4   oder t = 17,4  oder t = 4,8

Und da es z. B  bei t=0 kleiner als 150 ist, heißt

das:   Bei  t = 4,8 fängt es an größer als 150 zu werden,

dann bis t = 17,4    ist es größer und wird dann wieder kleiner

und ab t=39,4  ( vermutlich nicht mehr im betracheten Bereich)

wird es wieder größer.