Erwartungswert und Varianz mit exponentialverteilten X

Question

Ich komme bei dieser Aufgabe nicht wirklich voran... Ich weiß, dass man den Erwartungswert bei konkreten Wahrscheinlichkeiten bekommt, wenn man diese addiert und mit x multipliziert, also hat man x=2 und P(2)=1/2 und sonst keine werte, ist es E= 2*1/2 und sonst die anderen hinzuaddiert... Aber wie mache ich das hier? Bei Varianz soll man erst den Durchschnitt bestimmen und dann jeweils den Wert minus den Durchschnitt quadrieren und durch die Anzahl der Werte... Bei b) weiß ich auch überhaupt nicht weiter :/ Vielen Dank schonmal im Voraus ^^

Answer 1

zu a) Die Wahrscheinlichkeit ist ja stets P(x)=λ*e^-λx für eine exponentielle Verteilung. Jetzt musst noch x*P(x) von 0 bis Unendlich integrieren und schon hast du den Ewartungswert.

Für die Varianz berechnest du zunächst E[x²], also das Integral über x²*P(x) und dann kannst du mit folgender Formel die Varainz berechnen Var(X) = E[x²]-(E[x])².

zu b) Hier betarchtest du am besten 1-P{X<E[X]}, wobei P{X<E[X]} mit der Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung berechnet wird.

Comments

Könntest du b genauer erklären?

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Klar. Es gilt:

P(X>E[X]) = 1-P{X<E[X]} = 1-F(E[X])

Hierbei ist F(X) die Verteilungsfunktion von λ*e^-λx, also das ∫λ*e^-λydy mit den Integrationsgrenzen 0 und X.