Verschiedene Fragen, Konvergenzradius, Cauchy-Hadamard, Potenzreihen

Question

1. Überall im Internet steht folgendes bzgl. Cauchy-Hadamard: \( \frac{1}{\lim sup_{n\to\infty} \sqrt[a]{|a_n|} } \)

In der Vorlesung und auch im Skript (! habe extra nachgeguckt !) wurde folgendes an die Tafel geschrieben: \( {\lim sup_{n\to\infty} \sqrt[a]{|a_n|} }\). Ich weiß jetzt nicht, was ich davon benutzen soll.

2. Ich weiß nicht wie ich mit den Aufgaben umgehen soll, weil mich die Potenzen beim x^ irritieren\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac {{4}^{n+10}}{2^n} {x}^{2n+5}\) und \(\sum_{n=0}^{\infty} n! {x}^{n!}\). Aufgabe ist übrigens, den Potenzradius zu bestimmen.

3. "Für welche z∈ℂ bzw. x∈ℝ konvergieren die folgenden Reihen ?"

als Beispiel: \(  \sum_{n=0}^{\infty} \frac { 1 }{ 4^n + n^2 } z^n \) Wie muss ich das rechnen ?

Answer 1

Bei 1) hast Du die linken Seiten vergessen. Was sollen die beiden Ausdruecke darstellen?

Zu 2) \(a_n\) ist der Koeffizient von \(x^n\). Bei der zweiten Reihe ist also \(a_{n!}=n!\), waehrend alle anderen Koeffizienten verschwinden. Vielleicht verstehts Du ja jetzt, warum in der Formel ein \(\limsup\) vorkommt?

Zu 3) Probier's selber mal aus.

Comments

Ich sehe gerade, dass ich mich ein paar Mal echt verschrieben habe. SORRY! Ich war wohl total abwesend gedanklich..
1) Formel zur Berechnung vom Konvergenzradius. Definition aus der Vorlesung: \( l_a = \lim sup_{n\to\infty} \sqrt [n]{|a_n| } \)Ich sehe aber auch gerade folgendes bei mir:R_a heißt Konvergenzradius zu \( \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \). Man kann ihn berechnen auf folgende Weise. Setze \( l_a = \lim sup_{n\to\infty} \sqrt [n]{|a_n| } \)Dieser Limes l_a existiert in \( [0,\infty]\). Das heißt, entweder l_a ∈ \( [0,\infty]\) ist eine reelle Zahl, oder das Symbol \( \infty\). Es gilt\( R_a = \begin{cases}  0, wenn \ l_a = \infty \\ {l_a}^{-1}, wenn l_a \in {R_a}^{+} \\ \infty, wenn \ l_a = 0 \end{cases}\)Also meine Frage diesbezüglich hat sich erledigt. Hatte total ein Brett vor dem Kopf...Gut, dass es erst halb 11 abends werden musste, um das zu erkennen.

2)Aufgabe ist es, den Konvergenzradius (nicht den Potenzradius ?!?!, falls das überhaupt existiert) zu bestimmen. Ich habe ein Beispiel gesehen, in dem man "a_n x^{2n}" hatte und da wurde das ganze etwas verwirrend berechnet.
3) Was soll ich denn da ausprobieren ? Auch wieder mit der Formel für den Konvergenzradius ? Ne, oder?!

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2)Aufgabe ist es, den Konvergenzradius (nicht den Potenzradius ?!?!, falls das überhaupt existiert) zu bestimmen.

Willst Du's jetzt mir erklaeren, oder doch lieber andersrum? Halte Dich an die Regel, dass a_n der Koeffizient von xⁿ ist, dann klappt's auch mit der Formel von C./H.

3) Was soll ich denn da ausprobieren ? Auch wieder mit der Formel für den Konvergenzradius ? Ne, oder?!

Ist Dir ueberhaupt klar, was der Konvergenzradius aussagt, und vor allem, warum der so heisst?