Zeigen Sie: Ist F zweimal stetig partiell differenzierbar, so....

Question

Für ein partiell differenzierbares Vektorfeld
F =(F1,F2,F3): ℝ3 ⊃Ω→ℝ3 

definiert man die Rotation von F durch

rot F:= 

$$(\frac { \partial { F }_{ 3 } }{ \partial { x }_{ 2 } } -\frac { \partial { F }_{ 2 } }{ \partial { x }_{ 3 } } ,\frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial { x }_{ 3 } } -\frac { \partial { F }_{ 3 } }{ \partial { x }_{ 1 } } ,\frac { \partial { F }_{ 2 } }{ \partial { x }_{ 1 } } -\frac { \partial { F }_{ 1 } }{ \partial { x }_{ 2 } } )$$

1)Zeigen Sie

a) Ist F zweimal stetig partiell differenzierbar, so gilt 

div rot F=0.

b) Ist φ: ℝ3 ⊃Ω→ℝ zweimal stetig partiell differenzierbar, so ist rot grad φ=(0,0,0)

2) Gesucht ist eine Funktion φ: ℝ3 →ℝ mit 

grad φ(x)= (x₂+x₃, x₁+x₃, x₁+x₂).

Kann es eine solche Funktion geben?

Gibt es ein zweimal stetig differenzierbares Vektorfeld F mit rot F=x?

 

Answer 1

$$ div \quad rot  F=\frac { \partial  }{ \partial x }[\frac { \partial { F }_{ z } }{ \partial y }-\frac { \partial { F }_{ y } }{ \partial z }]+\frac { \partial  }{ \partial y }[\frac { \partial { F }_{ x } }{ \partial z }-\frac { \partial { F }_{ z } }{ \partial x }]+\frac { \partial  }{ \partial z }[\frac { \partial { F }_{ y } }{ \partial x }-\frac { \partial { F }_{ x } }{ \partial y }]=0\\\text{(nach Satz von Schwartz)}\\(b) \text{selbes Prinzip}\\(c)rot(y+z,x+z,x+y)=(0,0,0)\\\to \text{es existiert ein }\phi: grad\phi=(y+x,x+z,x+y)\\div \quad rot  F=div (x,y,z)=3\neq 0\\\text{so ein F gibt es nicht} $$