Fibonacci-Zahlen Induktionsannahme

Question

ich bin mit der Induktion bereits fertig, ich habe

f(n+1) = f(n) + f(n-1) gezeigt.

Mir ist im Nachhinein aber aufgefallen, dass ich nicht einfach die Induktionsannahme für f(n-1) einsetzen kann, ohne den "Hinweis" der Aufgabenstellung vorher nachzuweisen. Hier weiß ich leider nicht, wie ich das angehen soll.

tl;dr: Es geht nur um den "Hinweis" am Ende.

Answer 1

wenn du den Induktionsanfang für \(n=1\) und \(n=2\) machst sollte dein Induktionsschritt  keine Probleme mehr erzeugen, falls du die Aussage im Schritt dementsprechend anpasst. Generell ist das Prinzip aus dem Hinweis aber äquivalent zu der Induktion, die du sonst so kennst.

Gruß

Comments

Kann ich dann argumentieren, dass n der Nachfolger von n-1 ist und darauf meine Voraussetzung anwenden? Da es bei 1 funktioniert hat und bei 2, muss es ja für n-1 und n dementsprechend funktionieren.

Genau das hat mich gestört. Ich würde die exakte Induktion nochmal durchführen, sagen dass nach Annahme für alle 1≤k≤n die Aussage gilt (und somit für n und n-1) und vorgehen wie bisher.

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Musst du nicht, wenn du IA für n=1 und n=2 gemacht hast, kannst du im Schritt auch einfach zeigen, dass A(n+1) wahr ist wenn A(n) und A(n-1) wahr ist. Oder du nimmst direkt die Aussage aus dem Hinweis (da brauchst du nichts zusätzliches zu zeigen, sondern nur die Aussage im Schritt anzupassen).

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Okay, im I-Anfang hatte ich gezeigt dass f(1)=(f2)=1 gilt und dann f(n+1)=f(n)+f(n-1) bewiesen. Das wäre dann also genug auch ohne den Hinweis?

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Eigentlich verwendest du den Hinweis ja im Grunde.

Aber du sollst nicht zeigen, dass f(n+1) = f(n)+f(n-1) gilt (das ist ja die rekursive Definition, die gilt sowieso) sondern, dass die Gleichung aus der 4. Zeile für alle \(n \in \mathbb{N}\) gilt.

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Ich hab mich wahrscheinlich falsch ausgedrückt, ich hab gezeigt dass f(n+1) =Die Gleichung mit n+1 = f(n) + f(n-1). Also am Ende der Gleichung steht bei mir die Formel mit n+1 anstatt n.

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Ok dann passt es :).