Bestimmtes Integral von einem Bruch berechnen

Question

Hallo gegeben ist die folgende Aufgabe und ich soll das bestimmte Integral davon berechnen.

Nun wollte ich mal fragen , wie ich denn am besten die Stammfunktion bestimme.

Die Funktion scheint mir viel zu  kompliziert.

Hoffe auf Antworten oder Tipps oder Lösungsvorschläge :).

Comments

Nenner kann man faktorisieren.

Nenner

= x^2/3 ( x^1/3 + 1) - 1* (x^1/3 + 1)     | ausklammern

= (x^2/3 - 1) (x^1/3 + 1)   | 3. Binom.

= (x^1/3 +1 )(x^1/3- 1) ( x^1/3 + 1)

= (x^1/3 +1)² (x^1/3 - 1)

ob dir das etwas bringt?

---

Ich kann das zwar nachvollziehen, aber weiß leider nicht ganz wozu das mir weiter helfen soll.Ich muss es ja schaffen die funktion zu integrieren vielleicht iwas mit ln(...).. Und dann die gremzen einsetzen.Hoffe das ihr mir da weiter helfen könnt.

---

Substituiere x=t³.

Answer 1

hab mal einen kleinen Ansatz getan:

Comments

Substituiere zuerst  z = x^1/3 , mache dann eine Polynomdivision und dann eine Partialbruchzerlegung.

Dann bekommst Du einfache Integrale .

Lösung :≈ 10.33

Answer 2

Nimm zunächst mal das unbestimmte Integral. Allein das die Integrationsgrenzen mit hoch 3 angegeben sind sollte dich stützig machen das eventuell eine Substitution gefragt ist

∫ 4·x^1/3/(x + x^2/3 - x^1/3 - 1) dx

Subst. x = z³

1 dx = 3z² dz

∫ 4·(z³)^1/3/((z³) + (z³)^2/3 - (z³)^1/3 - 1) 3·z² dz

∫ 12·z³/(z³ + z² - z - 1) dz

Nun Polynomdivision und eine Partialbruchzerlegung durchführen

∫ (12 + 3/(z - 1) + 6/(z + 1)² - 15/(z + 1)) dz

Das kann man jetzt relativ leicht integrieren

3·LN(z - 1) - 15·LN(z + 1) - 6/(z + 1) + 12·z

Entweder zetzt du jetzt für z die 3. Wurzel aus x ein oder du wandelst die Integrationsgrenzen auch nach z um indem du die 3. Wurzel nimmst. Das sollte nicht schwer sein.

Also Ergenbnis kommst du auf 3·LN(3125/5832) + 61/5 = 10.33

Zumindest wenn ich mich nicht verrechnet habe. Aber das solltest du alles nochmals genau und vollständig nachrechnen.

Comments

Vielen dank

Für die schnellen antworten.

Habe es jetzt verstanden , welche schritte ich bei so einer aufg brauche.

Mfg