Gleichungsystem lösen und Weg aufzeigen

Question

Folgendes LGS ist in Matrix Form gegeben :

1      -4       2        -6

2       3       1         5

-3      6       1        -2  

Wie kann man das unter lösen des Gauß Verfahrens lösen wenn man sagt zb 1 Zeile :

1x -4y + 2z = -6

usw.

Ich verstehe die Lösungsform meines Professors nicht.

Answer 1

[1, -4, 2, -6]
[2, 3, 1, 5]
[-3, 6, 1, -2]

II - 2*I ; III + 3*I

[0, 11, -3, 17]
[0, -6, 7, -20]

11*II + 6*I

[0, 0, 59, -118]

59·z = -118 --> z = -2

Dann kannst du auch alle anderen Unbekannten lösen.

Comments

Ich verstehe den Weg leider immer noch nicht.

Bis vor kurzem hab ich das LGS noch verstanden mit xyz, aber diese Matrix Darstellung verstehe ich nicht.

Dass man die koeffizienten vor den Unbekannten auf null bringen muss ok. einsetzen usw ok.

Aber wie muss ich II - 2*I ; III + 3*I deuten ?

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II - 2*I

Subtrahiere von der 2. Zeile das doppelte der 1. Zeile

Das machst du beim Additionsverfahren mit xyz doch genau so oder nicht?

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So ich bin fast fertig.

Habe die 2 Zeile x6 genommen und zieh die 3 Zeile ( die x11 ) ab.

2 Zeile : 0   66   -18    102
3 Zeile   0  -66   77     -220
-----------------------------------
             0      0    59     118

geht ja auch oder?


Jetzt hab ich z : -2 und hab diese in die 2 Zeile eingefügt, erhalte für y dann : 1

Muss zugeben dass ich nur x nicht rausbekomme.

X muss 2 sein.


Vielen Dank bis dahin schon mal.


Ich glaube Fehler zu machen bei Additotion oder subtraktion von Zeile zu Zeile glaub ich.

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Schau mal ob dir das so hilft:

[0, 11, -3, 17] 

11y -3(-2) = 17 --> y = 1

[2, 3, 1, 5] 

2x + 3(1) + (-2) = 5 --> x = 2

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Ja klar, ich hatte ein Zeichenfehler in der 1 Zeile.

Hinten 6 statt -6


Ok prima, vielen dank für die geduldige Hilfe. Werde die Aufgabe nochmals durchgehen.


MERCI

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Jetzt würde mich aber folgendes noch interessieren

[1, -4, 2, -6]
[2, 3, 1, 5]
[-3, 6, 1, -2]

II - 2*I ; III + 3*I

[0, 11, -3, 17]
[0, -6, 7, -20]  ( das ist mir klar )

Nun hab ich ja Zeile 2 x6 und Zeile 3 x11 genommen.

Wie muss ich ihren Ansatz hier verstehen, ausgehend von folgenden Zahlen

ZEILE 1     [1, -4, 2, -6]

ZEILE 2     [0, 11, -3, 17]

ZEILE 3     [0, -6, 7, -20]

-----------------------------------

11*II + 6*I

[0, 0, 59, -118]

Reines Interesse, ich weiss ja es gibt viele Lösungswege.

Gruss

Patrick Flickert

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Ich schreibe die erste Zeile nicht nochmals mit auf. Daher sind meine zwei Aufgeschriebenen Zeilen wieder die erste und die zweite.

Schreibst du die erste mit darüber, dann ist es die zweite und dritte.

Answer 2

 

die Matrix ist nur eine Kurzschreibweise für das LGS (die Unbekannten sind weggelassen).

Du vereinfachst das System, indem du in der ersten Spalte in Zeile 2 und 3 [Schriit 1] und in der 2. Spalte  in Zeile 3  [Schritt 3]  durch Umformungen Nullen "produzierst".

Bei diesen Umformumgen ersetzt du immer die Zeile, in der die 0 entstehen soll durch die Summe aus einem passenden Vielfachen dieser Zeile und einem passenden Vielfachen der 1.Zeile [bei Schritt 1] bzw. der 2.Zeile [bei Schritt 2] .

Der  |  trennt die einzelnen Zeilen der Matrizen:

[1, -4, 2, -6  |  2, 3, 1, 5  |   -3, 6, 1, -2]    (war vorher vertauscht, vgl. Kommentar)

Schritt 1

→ [1, -4, 2, -6  |   0, 11, -3, 17  |   0, -6, 7, -20]  

Schritt 2:

→  [1, -4, 2, -6  |   0, 11, -3, 17  |   0, 0, 59, -118]

Wenn du jetzt wieder die kompletten Gleichungen hinschreibst, erhältst du

59z = 118  und  11y - 3z = 17  und x - 4y + z = -6 und kannst die Unbekannten sukzessive ausrechnen:

z = - 2 ,  y = 1 ,  x = 2

Gruß Wolfgang

Comments

habe leider in der Ausgangsmatrix in der letzten Zeile 6 und 1 vertauscht, halte dich an Mathecoach!

Habe die Antwort inzwischen korrigiert.