Monotonie und Krümmungsverhalten

Question

Bonjour meine Herren.

Ich hab die Aufgaben mal via Paint gezeichnet, weil ich nicht weiß, wie ich die Zeichen hier so setzen kann, dass es verständlich ist.

Meine Aufgabe: Untersuchen Sie das Monotonie- und Krümmungsverhalten der aufgeführter Funktionen: Auf welchen Intervallen ist die jeweilige Funktion fallend/steigend, auf welchen ist die konvex und auf welchen konkav?

zu a) Also ich habe das mal bei Wolframalpha eingegeben und dort kann ich ja sehen, wo sie steigend und wo fallend ist, aber ich denke mal das ich diese nicht einfach so ablesen darf oder? 

Bei b) weiß ich gar nicht bescheid ^^

Aber soweit ich es kenne muss ich doch erstmal die 2 Ableitung für die Krümmung haben oder? 

Also f´´(x) < 0

und f´´(x) > 0

Normalerweise würde ich diese einfach bilden aber mich verwirrt etwas die Betragsstriche... Wie bekomme ich die weg? Weil dann weiß ich ja ob etwas linksgekrümmt ist oder eine Rechtskrümmung besitzt.

Bei b) weiß ich ehrlich gesagt gar nicht weiter... wüsste nicht wie ich da rangehen sollte. Jemand eine Idee? :/ Wäre sehr hilfreich

Answer 1

Hier schon einmal die Nachweise für a.) die Monotonie

Insgesamt ergibt sich

x < 0 fallend
0 < x < 1 steigend
1 < x < 2 fallend
x > 2 steigend

~plot~ abs(x^2-2*x) ~plot~

Comments

Oh Endlich mal eine schöne Erklärung wie das funktioniert. Viel angenehmer als so mancher Wirr Warr. Vielen  

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Hier für a.) noch die Krümmung

x < 0 Linkskrümmung
0 < x < 2 Rechtskrümmung
x > 2 Linkskrümmung

Bin bei Bedarf gern noch weiter behilflich.

mfg Georg

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Oh Danke Danke ich schulde  Ihnen was

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Vorbemerkung : hier im Forum wird üblicherweise das " du " verwendet.

Das Wesen des Forums ist:
Jedermann kann hier Mathe-Fragen stellen.
Jedermann der Lust hat diese zu beantworten kann antworten.

Ich beantworte Fragen hauptsächlich zum Zeitvertreib.

Hier noch etwas zur Erheiterung ( bei der trüben Wetterlage )

Praktischer Tip
Was kann man machen falls man vor einer Flugreise Angst hat im Flugzeug
könnte eine Bombe versteckt sein?
Man nimmt auch eine Bombe mit.
Die Wahrscheinlichkeit das 2 Bomben in einem Flugzeug sind ist
nahezu null.

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Haha ok merke ich mir, dann nehme ich das "du" ab jetzt :D 

Haha danke für den Tip :D 

Answer 2

2. Ableitung für Krümmung ist eine gute Idee.

Die Betragsstriche stören eignetlich nicht so sehr, du bildest einfach entsprechende Abschnitte, wie auch bei b)

bei a) also etwa  f(x) = x^2 - 2x  wenn  dieser Ausdruck nicht negativ ist.

und das ist für x≤0 und für x≥2 der Fall.

Dort ist dann   f(x) = x^2 - 2x  und dazwischen   f(x) = - x^2 + 2x 

Also betrachtest du das Ganze in 3 Teilen:

Für x≤0 dann für x≥2 und dann dazwischen, etwa so:

Für x<0 gilt   f ' (x) = 2x-2   und f ' ' (x) = 2

also ist in diesem Bereich die Funktion fallend (wegen Abl. negativ)  und  konvex (wegen

2. Ableitung positiv.

Für x>2 gilt   f ' (x) = 2x-2   und f ' ' (x) = 2(wie im 1. Fall)  und hier

ist f steigend ( denn für x>2 ist 2x-2 positiv) und   konvex (wegen

2. Ableitung positiv.

dazwischen gilt:     f(x) = - x^2 + 2x also   f ' (x) = -2x+2   und f ' ' (x) = -2

also konkav und für x<1 steigend und für x>1 fallend.

Bei b) kannst du so ähnlich vorgehen.

Answer 3

zu a)

Man schreibt die Funktion betragsfrei, indem man das Vorzeichen der Terme im Betrag zwischen den Nullstellen bestimmt:

f(x) = x² -2x      für  x≥2 oder x≤0 

        - x² + 2x    für  0<x<2

f '(x) = 2x -2       für  x>2 ode r x<0    

          -2x+2       für   0<x<2

An den Nahtstellen ist die Funktion nicht differenzierbar, weil die Grenzwerte der beiden Teilterme für x→0 und x→2 nicht existieren.

f '' (x) =  2   für  x>2 ode r x<0 

              -2   für   0<x<2

Die Funktion ist in einem Intervall streng monoton steigend (fallend) wenn f ' dort positiv (negativ) ist.

Sie ist konvex (konkav), wenn  f ''  im ganzen Intervall positiv (negativ) ist

Gruß Wolfgang

Answer 4

  Komm lass mal Pappi ran . In a) lässt du erst mal die Betragssstriche weg; das gibt dir die beiden Nullstellen x1 = 0 so wie x2 = 2 . Der Scheitel liegt immer symmetrisch in der Mitte, also bei x0 = 1 . Betrachten wir nur die rechte Halbebene x > = 1 ; die linke geht durch spiegelung daraus hervor.
   Rechts von x2 = 2 ist die Funktion in jedem Fall konkav und monoton steigend; der negative Teil zwischen x0 und x2 ist aber nach Oben geklappt und damit konvex und fallend. Du hast ja eine Exke bei x2 .
   Bei deiner Wurzelfunktion ist das Problem: Im Ursprung ist sie zwar nicht differenzierbar, sie besitzt dort aber sehr wohl eine Ta ngente. Diese verläuft vertikal und lautet x = 0 .
  Du hast Punktsymmetrie am Ursprung; die Funktion erweist sich als streng monoton wachsend. jedoch verläuft sie im negativen Bereich konkav und im positiven konvex.