Quotientenkriterium aber trotzdem nicht konvergent!

Question

die Aufgabe ist es eine Reihe zu finden, bei der das Quotientenkriterium erfüllt ist ( also (a_n+1 / a_n) < 1  ) , aber die Reihe trotzdem nicht konvergiert.

Mir fällt leider keine Reihe ein..

Answer 1

Das Quotientenkriterium besagt ja : Es gibt ein c < 1 mit  (a_n+1 / a_n) < c .

Das stimmt immer. Das von dir zitierte hört sich so ähnlich an, stimmt aber nicht.

Etwa harmonische Reihe ist bekanntlich divergent, aber

a_n+1 / a_n = (1/(n+1) )  /  (1/n)  = n / (n+1)  < 1 .

Die Eigenschaft    a_n+1 / a_n   <  1    heißt ja nur:   streng monoton fallend und das ist

für die Konvergenz der Reihe zu wenig.

Comments

danke für die Antwort.

Wenn ich die harmonische Reihe 1/n nehme, und das Quotientenkriterium anwende, kommt am Ende 1/1 = 1 raus.

Das ist aber nicht echt kleiner als 1, sondern kleiner gleiich 1. Wo ist mein Fehler ?

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Meinte ich ja:

Das Kriterium ist nicht erfüllt, wohl aber das, was du in der Einleitung schreibst,

es ist immer   a_n+1 / a_n  < 1 .

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Ich formuliere mal die komplette Aufgabe:

Geben Sie ein Beispiel einer Reihe (SUmme von k=1 bis n a_k ) an, die nicht konvergiert, obwohl für alle k ∈ℕ gilt: 

| a_k+1 |  / |a_k| gilt. 

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für alle k ∈ℕ gilt: 

| a_k+1 |  / |a_k| gilt.   ????????????? was gilt ?

Answer 2

das Quotientenkriterium liefert die Konvergenz nicht für | a_n+1/a_n | < 1 (der Bruch könnte dann beliebig nahe an 1 herankommen).

Es muss eine Zahl z geben mit    | a_n+1/a_n | < z < 1

Gruß Wolfgang