Parameterform in Normalenform und wieder zurück in Parameterform... andere Ebene?

Question

folgendes Problem,
wenn ich nun aus folgender Parameterform $$E:\xrightarrow { x } =\left( \begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{matrix} \right) +r\left( \begin{matrix} -3 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} \right) +s\left( \begin{matrix} 12 \\ 5 \\ 1 \end{matrix} \right) $$
diese Normalenform bilde $$E:\left( \xrightarrow { x } -\left( \begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{matrix} \right)  \right) \circ \left( \begin{matrix} -17 \\ 51 \\ -51 \end{matrix} \right) =0$$
und dann wieder zurück eine Parameterform mache kommt folgende Parameterform raus:
$$E:\xrightarrow { x } =\left( \begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{matrix} \right) +r\left( \begin{matrix} 0 \\ -51 \\ 51 \end{matrix} \right) +s\left( \begin{matrix} 51 \\ 17 \\ 0 \end{matrix} \right) $$
Kann das denn stimmen? Denn hierbei handelt es sich doch um eine völlig neue Ebene die aufgespannt wird?

Answer 1

die Richtungsvektoren der Parametergleichung einer Ebene sind nicht einmal bzgl.ihrer Richtung eindeutig bestimmt.

Da alle vier Richtungsvektoren auf dem Normalenvektor der Ebene senkrecht stehen (Skalarprodukt jeweils = 0) sind beide Darstellungen von E gleichwertig. 

Du musst allerdings in beiden Darstellungen verschiedene Parameter (r,s) verwenden.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Ich nehme mal an, dass du keine Rechenfehler gemacht hast.

Grundsätzlich besteht eine Ebene aus unendlich vielen Punkten.

Jeder von denen kann Stützpunkt der Parameterform der Ebenengleichung sein.

Weiter kannst du von jedem Stützpunkt aus in unendlich viele Richtungen einen Richtungsvektor einzeichnen, der dann ausserdem unendlich viele verschiedene Längen haben kann.

Daher wäre es reiner Zufall, wenn du nach deinen Rechnungen ausgerechnet die gegebene Parameterform der Ebenengleichung rausbekommen würdest.

Zusatzaufgaben:

1. Überlege dir, wie viele Normalenformen der Ebenengleichung es für deine Ebene gibt.

2. Wie kannst du prüfen, ob du einen/keinen Rechenfehler gemacht hast? EDIT: Eine Prüfmöglichkeit hat dir -Wolfgang- bereits vorgeführt. 

Comments

Erstmal

Zu 1. Wahrscheinlich unendlich da man ja den Ortsvektor schon beliebig wählen kann...

Und zu 2. überprüfen ob das Skalarprodukt 0 ist. Aber ich war mir auch gar nicht unsicher das ich mich irgendwo verrechnet habe. Vertraue da meinem TR der das ohne schwierigkeiten rechnet, und da ich ja eh mitlerweile die Rechnung tausend mal überprüft habe, und immer das selbe bei raus kam, ging ich schon davon aus das es stimmt. Mich hat lediglich meine Grafische Darstellung verwirrt da diese ziemlich anders aussieht...