Funktionsgleichung 3.grades hat in P(0|0) einen Wendepunkt und in Q(-2|2) eine waagerechte Tangente.

Question

ich habe ein Problem, ich habe die Aufgabe bekommen:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hatin P(0|0) einen Wendepunkt und in Q(-2|2) eine waagerechte Tangente. Bestimme die Funktiongleichung dieser Funktion.

bitte helft mir ich bekomm sonst n Nerven zusammenbruch :)

Answer 1

Hi, Deine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung (warum?),
verwende daher den Ansatz

f(x) = a*x^3+c*x

und die Bedingungen f(-2)=2 und f'(-2)=0.

Comments

und wie rechne ich das weiter wenn ich die 2 für x einsetzte?

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Eigentlich schrieb ich "-2".

Die erste Ableitung lautet f'(x) = 3ax^2+c.

Die Bedingungen lauten
f(-2) = 2 ⇒ -8a-2c = 2 und
f'(-2) = 0 ⇒ 12a+c = 0.

Löse dieses Gleichungssystem.

Answer 2

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat in $P(0|0)$ einen Wendepunkt und in $Q(-2|2)$ eine waagerechte Tangente. Bestimme die Funktiongleichung dieser Funktion.

Punktsymmetrie in $P(0|0)$→$R(2|-2)$

↓Verschieben: $Q(-2|2)$→ $Q´(-\red{2}|0)$

Nullstellenform der kubischen Parabel:

$f(x)=a(x+\red{2})^2(x-N)$

↓Verschieben:$R(2|-2)$→$R´(2|-4)$:

$f(2)=a(2+2)^2(2-N)=16a(2-N)$

$16a(2-N)=-4$ →$16a(N-2)=4$   →$4a(N-2)=1$   → $a=\frac{1}{4N-8}$

$f(x)=\frac{1}{4N-8}(x+2)^2(x-N)$

↓Verschieben:$P(0|0)$→$P´(0|-2)$

$f(0)=\frac{1}{4N-8}(0+2)^2(0-N)=\frac{1}{4N-8}\cdot (-4N)$

$\frac{1}{4N-8}\cdot (-4N)=-2$      $N=4$     $a=\frac{1}{8}$

$f(x)=\frac{1}{8}(x+2)^2(x-4)$

↑Verschieben:  $p(x)=\frac{1}{8}(x+2)^2(x-4)+2$