Seien R und S Binärrelationen über einer Grundmenge M. Beweisen oder widerlegen Sie folgende Behauptungen

Question

Sind R und S Äquivalenzrelationen, so ist auch R ∪ S eine Äquivalenzrelation.

Darf ich hier Elemente frei wählen?

Also wenn M={a,b,c,d}, kann dann mein R={(a,b), (b,a), (a,a), (b,b)} und S={(b,c), (c,b), (b,b), (c,c)} sein?

Wenn das so geht, dann ist dies ja ein Gegenbeispiel dafür, dass die Vereingung keine Äquivalenzrelation ist, da dann dies dann nicht mehr transitiv ist.

Ich weiß wie gesagt nicht, ob ich R und S so bilden darf. Hat wer eine Ahnung?

Schonmal

Answer 1

ein Gegenbeispiel ist immer ausreichend um eine allgemeine Behauptung zu widerlegen. 

Das von dir beschriebene Gegenbeispiel ist noch nicht richtig gewählt du hast  aber richtig erkannt, dass die Transitivität Probleme macht.

Edit: Das Gegenbeispiel ist nicht vollständig. R und S sind jeweils nicht reflexiv.

Gruß

Comments

Danke dir! den Schnitt von R mit S kann man also auch widerlegen, wenn R={(a,a)} ist und S={(b,b)} ist? Und der Schnitt wäre die leere Menge? Oder irre ich mich hier komplett, weil die leere Menge eine Äquivalenzrelation ist?

---

Ah sorry, deine beiden Relationen sind ja gar keine ÄR auf M, dazu müssten in beiden (a,a), (b,b), (c,c) und (d,d) vorkommen (das ändert aber dann trotzdem nix daran, dass du nach der Korrektur weiterhin ein Gegenbeispiel für die Vereinigung hast).

Das sollte die Frage nach dem Durchschnitt beantworten. Eine ÄR kann nur die leere Menge sein, wenn M selbst die leere Menge ist. Auf dieser gibt es aber nur genau eine ÄR :).