Zeigen Sie: die Potenzmenge P(M) einer Menge M ≠ {} bildet ...

Question

Hi,

kann mir bei dieser Aufgabe vielleicht jemand helfen?

"Zeigen Sie: die Potenzmenge P(M) einer Menge M ≠ {}
bildet mit der Verknüpfung ∩ einen kommutativen Monoid
mit Eins, aber keine Gruppe."

Also ein Monoid ist ja gegeben, sobald Abeschlossenheit, Assoziativität und Neutrales Elemente gegeben ist. Aber wie genau prüfe ich das jetzt?

Gruß

Answer 1

"Zeigen Sie: die Potenzmenge P(M) einer Menge M ≠ {}
bildet mit der Verknüpfung ∩ einen kommutativen Monoid
mit Eins, aber keine Gruppe."

Also ein Monoid ist ja gegeben, sobald Abeschlossenheit, Assoziativität und Neutrales Elemente gegeben ist. Aber wie genau prüfe ich das jetzt?

du rüfst die Eigenschaften nach:

Ist also M ≠ {} und  sind A ∈ P(M) und B ∈ P(M), dann ist auch A∩B eine Teilmenge von M,

also auch A∩B ∈ P(M)   also abgeschlossen.

assoziativ für  ∩  ist vermutlich bekannt.

neutrales El ist M selbst, denn    A∩M = A gilt für alle Teilmengen von M.

und inverse El. gibt es im.allg nicht

wenn etwa M = {1;2 }   und A = {1} dann müsste es ein B geben mit {1} ∩ B = M,

aber es ist ja immer {1} ∩ B ⊆ {1} .

Comments

Sind A und B dann selbst wieder Mengen?

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klar, die Elemente von P(M) sind die Teilmengen von M.