Differenzierbarkeit, stetig? f(x):= x^2*sin(1/x) für x≠0 und f(0):= 0.

Question

hier ist die Aufgabe :

ich bräuchte hier nur einen Ansatz . Ich habe mir auch die Def. von Differezierbarkeit angeschaut, jedoch verstehe ich nicht ganz wie ich sie zeigen soll.   

Es sei

\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch
$$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} {x^{2} \sin \frac{1}{x},} & {x \neq 0} \\ {0,} & {x=0} \end{array}\right. $$
Zeigen Sie:

\( (\mathrm{a}) \) f ist differenzierbar.
\( (\mathrm{b}) \) f' ist in 0 unstetig.

 

Comments

Du sollst \(f'\) ausrechnen. Fuer \(x\ne0\) geht das mit den Regeln, die Du gelernt hast. Fuer \(x=0\) musst Du den Differenzenquotienten von Hand untersuchen.

---

vielen dank.

könntest du mir bitte auch bei b) einen ansatz geben ?

---

muss ich bei a) nicht auf linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert prüfen ?

---

$$f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}$$ Der gemeine Limes ist beidseitig.

---

bei der 1.funktion ist  x ungleich 0, aber man setzt trotzdem für f'(x) , f'(0) ein ?

---

Funktion lautet : x^2 *sin(1/x)

ableitung : 2x*sin(1/x) - cos(1/x)

Nach Formel f'(0) = limes x-> 0 ...

f'(0) = nicht definiert

limes x->0 ... = 1 .

=> f'(0) = nicht definiert ungleich -1 .

ist das so richtig ?

---

Teile doch mal mit, was Du bei (a) bisher konkret zusammenhast.

---

das war meine a . ist noch nicht vollständig, aber das war, was ich bis jetzt habe. Ich habe erstmal die funnktion f(x) = x^2 *sin(1/2) abgeleitet ...s. vorherige Beitrag.

---

Und was stellst Du Dir jetzt so vor, was man noch machen muss, um rauszukriegen, ob f auch für x=0 diff'bar ist?

Edit: Ach, da ist mir eine Antwort entgangen. Was soll den das ..., von dem Du den Limes \(x\to0\) nicht bestimmen kannst, so sein?

---

ich müsste jetzt den grenzwert für x-> 0 berechnen

---

ich müsste jetzt den grenzwert für x-> 0 berechnen 

Von WAS?

---

von der funktion f(x)= x^2*sin(1/x) ?

---

nochmal von vorne. Ich habe nun die Funktion  f(x)= x²*sin(1/x)  abgeleitet. Was kommt als nächstes?

---

Das ergibt sich aus der Frage, was damit bisher für (a) erreicht wurde. Was?

---

Eine Funktion ist differenzierbar, wenn gilt :

lim x->x0 f'(x) = lim x->x0 f'(x)

linksseitig = rechtsseitig

richtig ?

---

Nein, total falsch. Eine Funktion ist differenzierbar an einer Stelle, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten an dieser Stelle existiert.

Fuer die Frage, ob \(f'(0)\) existiert und welchen Wert es eventuell hat, ist es voellig irrelevant, ob \(f'(x)\) für \(x\ne0\) existiert, oder ob \(\lim_{x\to0}f'(x)\) existiert.

---

komme bei dieser Aufgabe nicht weiter:

$$ f:R \rightarrow R:x \mapsto \begin{cases} { x }^{ 2 } sin(\frac { 1 }{ x } )\quad x \neq 0 \\ 0 \quad x=0 \end{cases} $$

Hier nochmal:

f(x)=x^2 sin(1/x) für x ungleich 0

f(x)=0 für x=0

Ist die Funktion stetig differenzierbar?

Wie kann ich das prüfen?

Danke:)

---

Es sei f  : ℝ → ℝ definiert durch :

Answer 1

Mach doch einfach  ( f(h) - f(h) ) / h

=( h^2 * sin(1/h) - 0 ) / h

=  h*sin(1/h)    und weil   sin(1/h) beschränkt ist, ist der Grenzwert 0

also f ' (0) = 0 .

aber für x ungleich 0 ist f ' (x) = 2sin(1/x)*x - cos(1/x)

und für x gegen 0 geht der 1. Summand gegen 0 aber der 2. oszilliert zwischen -1 und 1,

also existiert der GW für x gegen 0 nicht; deshalb ist f ' bei 0 nicht stetig.