Extremwert aufgabe für tonne

Question

Eine zylindrische Tonne soll (mit Mantel, Deckel, und Boden) die Oberfläche von 27 m besitzen. Wie soll man die Höhe und die Breite der Tonne bemessen damit ihr Volumen maximal wird? 

Answer 1

Oberfläche eines Zylinders

O=2πr²+2πr*h

Die Oberfläche beträgt 27m²

27=2πr(r+h) Das kannst du entweder nach r oder h auflösen um es später in die Formel für das Volumen einsetzen zu können.

Das Volumen eines Zylinders beträgt:

V=πr²*h

Nachdem du eingesetzt hast musst du nur noch das Maximum der Funktion V bestimmen.

Gruß

Answer 2

Oberfläche der Tonne mit Radius r und Höhe h: O(r,h) = 2πrh + 2πr² = 2π(rh+r²)

O(r,h) = 27m ⇔ 2π(rh+r²) = 27m ⇔ rh+r² = 13,5m / π ⇔ h = (13,5m / π - r²)/r

Volumen der Tonne mit Radius r und Höhe h: V(r,h) = πr²h

h = (13,5m / π - r²)/r ⇒ V(r) = V(r, (13,5m / π - r²)/r) = πr²(13,5m / π - r²)/r = πr(13,5m / π - r²) = 13,5m·r - πr³

Bestimme den Hochpunkt von V(r).