Symmetrie bei gebrochenrationalen Funktionen

Question

"Eine gebrochen-rationale Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung,wenn im Zähler nur gerade Exponenten stehen, und im Nenner nur ungerade Exponenten stehen (oder umgekehrt)."

"Eine gebrochen-rationale Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn alle Variablen im Zähler und Nenner gerade Exponenten haben, oder wenn alle Variablen im Zähler und Nenner ungerade Exponenten haben."

Nun stieß ich auf eine gebrochenrationale Funktion auf die das scheinbar nicht zutrifft, warum?

Sie lautet: f(x)= (2-3x)/(x+1). Sie ist weder zum Ursprung noch zur Y-Achse symmetrisch. Laut den genannten Sätzen müsste sie doch aber achsensymmetrisch zur Y-Achse sein, oder nicht?

Answer 1

Denk daran, dass x⁰=1 eine gerade Potenz ist!
Bei dir enthalten also sowohl Zähler als auch Nenner gerade und ungerade Potenzen.

Comments

Ich sehe kein x^0 in dem Term?

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Du hast in (2-3x)/(x+1) zwei Summanden, in denen keine ungerade Potenz von x vorkommt. Nämlich 2 und 1.

Dort kann man aber x⁰ dazudenken. Also eine gerade Potenz von x. Deshalb liegt oben und unten eine Mischung vor.

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Wenn überm x kein exponent steht, dann heisst es x^1, und nicht x^0, x^0 ergibt immer 1, x ist eine variable, denkt euch statt x eine zahl und rechnet die mal ^0 .. Wenn man statt dem x eine 2 einsetzt heisst es 2^1 und das ergibt 2 so muss es auch sein. Also enthällt bei deiner funktion sowohl der nenner als auch der zähler einen ungeraden exponenten, nämlich die 1, also achsensymmetrisch zur y-achse.

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Gast. Schön, dass dich das nach mehr als 3 Jahren noch interessiert. Ich mache blau noch explizit die oben diskutierten Fakten rein:

Du hast in (2x^0-3x^1)/(x^1+1x^0) zwei Summanden, in denen keine ungerade Potenz von x vorkommt. Nämlich 2 und 1.

Dort kann man aber x⁰ dazudenken. Also eine gerade Potenz von x. Deshalb liegt oben und unten eine Mischung vor.

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Ja ich habe grad was gegooglet und bin drauf gestoßen.. Ich wusste nicht das Man sich hinter dem Summanden eine variable denken muss... Aber okay, wenn das so ist dann haste Recht, haben das grad im Abi und ich habe es in jeder Klausur richtig gehabt.. Ich frage meine Lehrerin morgen nochmal.

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Alles klar. Normalerweise muss man beim Abi nur auf Symmetrie bezüglich Koordinatenursprung oder y-Achse prüfen.

Wenn ihr genauer hinschauen sollt, könnt ihr hier eine Punktsymmetrie bezüglich P(-0.5 | -3) erkennen.

~plot~(2-3x)/(x+1) ; x=-1/2 ; -3 ~plot~

Allein die Exponenten genügen allerdings nicht um diese Art von Symmetrie festzustellen.