Abgeschlossenheit einer Verknüpfung prüfen

Question

Gegeben sei eine Menge M = ℚ \ {1} und folgender Verknüpfung: a o b = a + b - a*b

Die Menge mit der Verknüpfung ist nun auf Abgeschlossenheit zu überprüfen, sprich ob das Ergebnis der Verknüpfung wieder ein Element aus ℚ \ {1} ist.

Im Lösungsheft wird gerade einmal geprüft ob a + b - a*b ≠ 1 ist aber kann es nicht auch sein dass das Ergebnis ein ∈ ℝ oder sogar ∈ℂ ist? Müsste hierfür nicht auch ein Beweis geführt werden da in diesem Falle ja auch keine Abgeschlossenheit herrschen würde.

Sind meine Anfänge in der Gruppentheorie, gut möglich dass ich etwas elementares übersehe.

Comments

Nach den Regeln des Bruchrechnens sind Summe, Differenz und Produkt von rationalen Zahlen wieder rational. Noch nie ist da zufaellig was echt reelles oder gar was echt komplexes bei rausgekommen.

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Danke, dass war das Elementare was ich vermute habe, mir aber nicht sicher war. Übrigens, die Menge der rationalen Zahlen sind bezüglich der Division auch abgeschlossen. (für a / b wobei a,b∈ℚ und b ≠ 0)

Answer 1

> aber kann es nicht auch sein dass das Ergebnis ein ∈ ℝ oder sogar ∈ℂ ist?aber kann es nicht auch sein dass das Ergebnis ein ∈ ℝ oder sogar ∈ℂ ist?

Das müsste streng genomen auch geprüft werden. Allerdings ist ℚ ein Körper und deshalb bezüglich +, - und * abgeschlossen. Das fand der Autor des Lösungsheftes wohl zu trivial um es zu erwähnen.