Funktion stückweise definiert gegeben - Beweisen, dass stetig in x=1, Grenzwert berechnen

Question

Gegeben sei die Funktion

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{5 x^{2}-x+1}{x^{2}+3} & , \quad x \leq 1 \\ \frac{\sin (10 \pi x) \cos (\pi x)}{2 \pi\left(1-x^{4}\right)} & , \quad x>1 \end{array}\right. \)

Weisen Sie nach, dass die Funktion an der Stelle \( x=1 \) stetig ist, und berechnen Sie den Grenzwert \( \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} f(x) \). Begründen Sie, warum \( \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=0 \) gilt.

Answer 1

Hier meine Berechnungen



~plot~ ( x < 1 ) * (5*x^2 - x + 1 ) / ( x^2 + 3 ) + ( x > 1 ) * ( sin(10*pi*x) * cos(pi*x) ) / ( 2*pi*(x^2-1)) ~plot~

Die Funktion ist bei x = 1 nicht stetig.
Der Plotter hätte beim Sprung von 5/4 auf -2.5 allerdings
keine blaue Linie zeichnen dürfen.

Comments

Bei der Rechnung ebenfalls den selben Fehler. In dem einen Nenner steht 1-x^4 in der Klammer. Du hast aber x^2-1 abgeschrieben.

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Korrektur. Anstelle
x^2 -1
muß es
1 -x^4
heißen.
Leider ein klarer Fall von Augentrübung. Bei
den kleinen Hochzahlen auf dem Bildschirm
passieren mir manchmal Ablesefehler.

also
- 31.42 / ( 2 * PI * 4 * ( - x^3 )
- 31.42 / ( - 2 * PI * 4 *  1 )
5 / 4

Die Funktion ist stetig

~plot~ ( x < 1 ) * (5*x^2 - x + 1 ) / ( x^2 + 3 ) + ( x > 1 ) * ( sin(10*pi*x) * cos(pi*x) ) / ( 2*pi*(1-x^4)) ~plot~

Answer 2

Der obere Ausdruck geht doch gegen 5/4 ; und sin ( 10 Pi ) ist in jedem Falle Null.

Comments

sin ( 10 Pi ) = 0

aber auch 1 - 1^4 = 0

Nun könntest du Hospital einsetzen. 

EDIT: Stimmt doch vgl. unten. 

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Nein Lu x =1 ist korrekt. Der untere Ausdruck geht auch gegen 5/4.

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Richtig. Danke. Man sollte nicht einfach kopieren, wenn was falsches rauskommt.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%285*x%5E%282%29-x%2B1%29%2F%28x%5E%282%29%2B3%29%3B+%28sin%2810*pi*x%29*cos%28pi*x%29%29%2F%282*pi*%281-x%5E%284%29%29%29%C2%A0 

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Ich will alles nie wieder tun. Aber wir müssen hier doch alles raus ziehen. Im Zähler geht doch der Kosinus gegen Minus Eins.  Dieses Minuszeichen wird im Nenner absorbiert, den ich wie folgt faktorisiere



      x  ^  4  -  1  =  (  x  ²  +  1  )  (  x  +  1  )  (  x  -  1  )           (  1a  )

       (  x  ²  +  1  )  (  x  +  1  )  ====>  4     (  1b  )


  Wir müssen also einen Faktor von 1 / 8 Pi    vorziehen.


                                     sin  (  10  Pi  x  )
     lim  =  1 / 8 Pi  lim  ------------------------------------     (  2  )
                                              x  -  1


       Aber  ( 2 )  ist doch nichts weiter als der Differenzenquotient der Funktion



          f  (  x  )  :=  sin  (  10  Pi  x  )     (  3a  )


      genommen zwischen x0 = 1 und der beliebigen Stelle x . Schlicht und ergreifend weil



         f  (  x0  )  =  f  (  1  )  =  0      (  3b  )



     Und dieser Grenzwert ist gleich f ' ( 0 )
 


     lim  =  ( 10  Pi / 8  Pi )  limcos  10  Pi  x  =  5/4     (  3c  )