koordinaten von p berechnen

Question

Hallo

Muss folgende Aufgabe lösen und verstehe nicht, was ich machen muss. Habe versucht, Gleichungen für beide Ebenen aufzustellen (hat nicht geklappt). Danach würde ich beide mit der HNF gleichsetzen, damit ich den gleichen Abstand von beiden Ebenen zu P habe. P muss dann ja noch auf dem Vektor AD liegen. Wie gehe ich denn da vor?

Hier die Aufgabe:

Answer 1

Ebene \( E_{BCS}: \vec{x} = \vec{OB} + r\vec{BC} + s\vec{BS} \)

Ebene \( E_{EFGH}: \vec{x} = \vec{OH} + r\vec{HE} + s\vec{HG} \)

Gerade \( G_{AD}: \vec{x} = \vec{OA} + t\vec{AD} \)

1. Stelle mit der HNF einen Term \( d_{E_{BCS}G_{AD}} \) für den Abstand zwischen der Ebene \( E_{BCS} \) und dem Punkt \( \vec{OA} + t\vec{AD} \) der Geraden auf.
2. Stelle mit der HNF einen Term \( d_{E_{EFGH}G_{AD}} \) für den Abstand zwischen der Ebene \( E_{EFGH} \) und dem Punkt \( \vec{OA} + t\vec{AD} \) der Geraden auf.
3. Setze \( d_{E_{BCS}G_{AD}} = d_{E_{EFGH}G_{AD}} \) und löse nach \( t \) auf.
   

Der richtige Wert für \( t \) muss zwischen 0 und 1 liegen.

Comments

Punkt 1: vgl Bild

Nun Punkt 2: hier klappts schon nicht mehr richtig. Wenn ich jetzt die Gleichungen habe, wie stelle ich nun mit der HNF den Term auf?

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Berechne einen nomierten Normalenvektor \( \vec{n_0} \) der Ebene (z.B. über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene). Als Stützvektor \( \vec{a} \) kannst du den der Parameterdarstellung der Ebene nehmen. Der Abstand zwischen \( E_{BCS} \) und dem Punkt \( \vec{OA}+t\vec{AD} \) ist dann

\( d = \left(\begin{pmatrix}30\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-30\\30\\10\end{pmatrix} - \vec{a}\right)\cdot \vec{n_0} \)