Begründen Sie, warum f in I ein Maximum und ein Minimum besitzt

Question

dies ist eine Klausurübungsaufgabe . Ich weiß nicht wie ich die nr 3a) begründen soll. Und zu 3c) habe ich die Bildmenge für f([0,3]) raus, das sind 12,-1,8 und 3, wie berechne ich es für f(I) ?

Answer 1

Ich weiß nicht wie ich die nr 3a) begründen soll.

Jede stetige Funktion besitzt über einem kompakten Intervall Min und Max.

Und zu 3c) habe ich die Bildmenge für f([0,3]) raus, das sind 12,-1,8 und 3, wie berechne ich es für f(I) ?

~plot~2x^3-3x^2-12x+12;[[0|3|-20|20]]~plot~

Im Inneren  des Intervalls gibt es an Extremwerten nur das Minimum. 

Und dann die Randwerte ausrechnen f(0)=12   ist der größere.

Also sind die y-Werte alle im Bereich von  -8 (geschätzt, ist ja das ausgerechnete Min) bis 12 , also

f ( I) = [ -8 ; 12 ]

Answer 2

(a) f ist stetig und [-2;3] ist ein abgeschlossenes Intervall.

(c) f([0,3]) = [-8, 12], weil -8 das Minimum von f im Intervall [0,3] ist (nämlich f(2) = -8) und 12 das Maximum von f im Intervall [0,3] ist (nämlich f(0) = 12) und f im Intervall [0,3] stetig ist.