Beweis, dass N0 und Z gleichmächtig sind:

Question

Hi,

ich soll beweisen, dass die Mengen ℕ₀ und ℤ gleichmächtig sind, also, dass gilt |ℕ₀| = |ℤ|,
für die Abbildung f: {ℕ₀ -------> ℤ, n → 1/4(1-(-1)ⁿ(2n+1))}.

Mein Beweis bis jetzt:
Da (-1)ⁿ von einer geraden oder (ausschließendes oder) ungeraden natürlichen Zahl abhängt, gilt es, zwei Fälle zu betrachten. Sei für alle ungeraden n Element ℕ daher n = 2k - 1, und für alle geraden n Element ℕ daher n = 2k.

Die Abb. f ist injektiv, denn f(n) = 1/4(1-(-1)ⁿ(2n+1)) = 1/4(1-(-1)^m(2m+1) = f(m). Aus Vorzeichengründen folgt nun, dass n und m entweder beide gerade, oder beide ungerade sind. Daraus folgt wiederum 2n + 1 = 2m + 1 und somit n = m. Damit ist die injektivität gezeigt.

Bei den Surjektivität habe ich Probleme. Die Surjektivität gilt wenn "Surjektiv, falls zu jedem y Element Y ein x Element X existiert und f(x) = Y" stimmt.

LG

Comments

Anmerkung: Weiterhin gilt f(0) = 0!
Und "Sei für alle ungeraden n Element ℕ daher n = 2k + 1", 2k - 1 war ein Tippfehler.

Answer 1

hier gilt es nicht nur in gerade und ungerade natürliche Zahlen zu unterteilen (also zu "halbieren") sondern in die Restklassen modulo 4 zu unterteilen (also zu "vierteln").

Edit: Modulo 4 war quatsch, natürlich reicht die Fallunterscheidung in gerade und ungerade (wie sonst auch bei dieser Aufgabe -.-), vgl. Kommentare.

Gruß

Comments

Vielen Dank für die Antwort!

Mit modulo habe ich mich noch nicht beschäftigt.

Am Ende vom Buch steht jedoch, dass gilt f(2k - 1) = k für alle ungeraden n (Also n = 2k - 1),
sowie für alle geraden n (Also n = 2k) dann f(2k) = -k. Daraus wird auf surjektivität geschlossen.
Kannst du mir das bitte erklären? Ich verstehe nicht, wie k und -k entstehen...

LG

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Oh ich bin wohl übers Ziel hinausgeschossen, dieses 1/4 hat mich vergessen lassen zu denken. Es reicht tatsächlich nur ungerade und gerade natürliche Zahlen zu betrachten.

Naja wie auch immer, was genau ist deine Frage? Setz doch mal für n=2k bzw. n=2k-1 ein dann kriegst du doch genau das Ergebnis. Somit werden die geraden natürlichen Zahlen auf die negativen ganzen Zahlen und (0 auf) 0 und die ungeraden auf die positiven ganzen Zahlen abgebildet.

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Irgendetwas mache ich beim auflösen falsch :-(

Setze ich n = 2k, dann folgt 1/4(1-(-1)^2k (2(2k)+1)). Da 2k eine gerade natürliche Zahl ist, folgt 1/4(1-(1)(2(2k)+1)). Und damit 1/4(1 - 4k + 1) = -k. Gut, jetzt habe ich meinen Fehler bemerkt. Erst zu subtrahieren, anstannt die verknüpfte Gleichung mit 1 zu multiplizieren war ziemlich blöd ':-D

Dann muss aus n = 2k - 1 für eine ungerade natürliche Zahl folgen... 1/4(1-(-1)(2(2k)+1)) = 1/4(1 - (-4k) -1) = k.

Alles klar, hat sich erledigt, vielen Dank Yakyu. Ich registriere mich gleich mal im Forum.

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Ja wobei du beim auflösen der Klammer in der ersten Gleichung eine eine -1 nach dem 4k hast (aber das war bestimmt nur ein Schreibfehler).

Gerne, hab ja nicht viel gemacht außer für Verwirrung zu sorgen ^^.

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Ups, ja sollte eine - 1 sein.