Inverse der Matrix berechnen

Question

Mit Taschenrechner wär das natürlich keine Problem, aber man darf bei dieser Aufgabe keinen verwende. 

Aufgabe:

Berechnen Sie die Inverse der Matrix (a=8)  a ∈ $$ \left\{ 0,1,...,9 \right\}  $$

                                     

Answer 1

Du kannst die Inverse berechnen, indem du dir neben deine Matrix A die Einheitsmatrix 1 mit n=4 schreibst. Dann wendest du auf A und die Einheitsmatrix elementare Zeilentranformationen an, immer die gleichen auf jede Matrix, bis A zur Einheitsmatrix transformiert ist. Die Matrix, die aus der Einheitsmatrix entstanden ist, ist dann deine gesuchte Inverse. Das ganze sieht ungefähr so aus:

1. 1 -1 0 0 | 1 0 0 0
2. -1 1 2 0 | 0 1 0 0 //+ Zeile 1
3. 0 2 a -1 | 0 0 1 0
4. 0 0 -1 1 | 0 0 0 1

1. 1 -1 0 0 | 1 0 0 0 
2. 0 0 2 0 | 1 1 00
3. 0 2 a -1 | 0 0 1 0 // vertausche Zeile 2 und 3
4. 0 0 -1 1 | 0 0 0 1

1. 1 -1 0 0 | 1 0 0 0 
2. 0 2 -a -1 | 0 0 1 0 // :2
3. 0 0 2 0 | 1 1 0 0  // :2
4. 0 0 -1 1 | 0 0 0 1

1. 1 -1 0 0 | 1 0 0 0 
2. 0 1 -a/2 -1/2 | 0 0 1/2 0
3. 0 0 1 0 | 1/2 1/2 0 0 
4. 0 0 -1 1 | 0 0 0 1 // + Zeile 3

1. 1 -1 0 0 | 1 0 0 0 
2. 0 1 -a/2 -1/2 | 0 0 1/2 0 // +(a/2)Zeile3 und +(1/2)Zeile4
3. 0 0 1 0 | 1/2 1/2 0 0 
4. 0 0 0 1 | 1/2 1/2 0 1

1. 1 -1 0 0 | 1 0 0 0 // +Zeile 2
2. 0 1 0 0 | (a+1)/4 (a+1)/4 (a+3)/4 (a+1)/2
3. 0 0 1 0 | 1/2 1/2 0 0 
4. 0 0 0 1 | 1/2 1/2 0 1

1. 1 0 0 0 | (a+5)/4 (a+1)/4 (a+3)/4 (a+1)/2
2. 0 1 0 0 | (a+1)4 (a+1)/4 (a+3)/4 (a+1)/2
3. 0 0 1 0 | 1/2 1/2 0 0 
4. 0 0 0 1 | 1/2 1/2 0 1

Auf der rechten Seite steht nun deine Inverse. Für a kannst du beliebige Werte einsetzen, sodass stets gilt AxA^-1 = 1.