Lineare Näherung bestimmen: pV = RT

Question

Hallo ich soll diese Aufgabe lösen ;

ich habe beim Punkt b ) schwierigkeiten .Mir ist aufgefallen zumal die EInheiten müssen Auf Kelvin angepasst werden . (+273.15 rechnen) .

Ist hier ΔP gesucht . Das Man berechnet : (P +ΔP)-P ?

(P +ΔP) mit der Linearen Näherung über Taylorreiheund P=RT/V.?

Answer 1

Es ist $$p=\frac{RT}{V}$$ und also $$dp=\frac{\partial p}{\partial T}dT+\frac{\partial p}{\partial V}dV.$$ Wenn Du die Ableitungen ausrechnest, dann hast Du a). Bei b) stehen dann bloss noch ein paar Zahlen zum Einsetzen.

Comments

Hallo und danke !

Meinst du für dT=ΔT=2 und für dV=ΔV=0,05 für T und V dann 673,15 K und 5m^3 ?

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Jo.

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Answer 2

Meine Überlegungen

p = R * V / T

a.)
T = const.
V wird größer : p wird größer
V wird kleiner : p wird kleiner
Es gilt Proportionalität

V = const.
T wird größer : p wird kleiner
T wird kleiner : p wird größer
Es gilt die umgekehrte Proportionalität

b.)
Meine Frage  : ist dies der Sachverhalt ?
p1 = R * ( 673.15 / 5.00 ) = 1118.7
p2 = R * ( 675 .15 / 5.05 ) =  1111.0

Δ p = - 7.7

Comments

Hallo Georg,

Ich habe a ) mittels totales Differential gemacht , so wie es der Gast angegeben hat . P in Abhängigkeit von V und T ausgedrückt und partiell abgeleitet.

Und dann ohne Zahlenwerte den relativen fehler angehen.

Für b) hab ich die Zahlenwerte eingesetzt in das totale differential (beschreibt linea re näherung )

und komme auf einen etwas höheren wert .

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In der Aufgabenstellung war ja eine Lösung mit linearer
Approximierung gefordert. Dann wollen wir das auch einmal
durchführen

V = const
Ableitung  = R / V = 8.31 / 5 = 1.6662

T const
Ableitung = - R * T / V^2 = - 8.31 * 673.15 / 5^2 = - 223.755

In der weiteren Rechnung hast du die 2.Ableitung absolut gesetzt.
Wenn das Volumen vergrößert wird sinkt der Druck.
Das minus dürfte berechtigt sein.

Δ p = 1.6662 * Δ T + ( -223.755 ) * Δ V
Δ p = 1.6662 * 2 - 223.755 * 0.05
Δ p = 3.3324 - 11.1878
Δ p = -7.855

und stimmt damit mit der 1.Lösung überein.

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Dankeschön da hast du recht . Ich hab den physikalischen Hintergrund nicht beachtet.  Der Betrag war falsch . In der vo haben wir das nämlich so gemacht .

Dann stimmt also meine Lösung wenn ich den Betrag weglasse ?

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Die Rechnwege stimmen überein.
Das Endergebnis dann auch.

Das hättest du aber auch selbst sehen / vergleichen können.

Die Einheit N / m^2 dürfte auch stimmen.

Ich fand es interessant das Ergebnis mit 2 verschiedenen
Rechenansätze gefiunden zu haben.

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Ich wollte zur Sicherheit einfach nachfragen.

Ich danke dir für deine Hilfe; )

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Gern geschehen. Dazu ist das Forum da.