Zeige Funktion in 0 differenzierbar und Ableitung in 0

Question

ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch bei dieser Aufgabe. Zeige ich in 0 differenzierbar mit der Regel von l'hospital und für die Ableitung in 0 einfach mit der Quotientenregel in der Form: (f/g)'(x₀) = f'(x₀)g(x₀)-f(x₀)g'(x₀)/g^2(x₀) , oder bin ich damit komplett auf dem Holzweg?
Vielen Dank für jegliche Hilfe.

Comments

Beides ist total daneben. Du verwendest unmittelbar die Definition der Ableitung, d.h. Du untersuchst den Differenzenquotienen von F and der Stelle 0 auf Konvergenz.

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Okay, danke. Damit ich das richtig verstehe, ich soll zeigen lim n->0 (u(x+h)/v(x+h) - u(x)/v(x)) / h , ja ?

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Nein. Du sollst den Differenzenquotienten von F an der Stelle 0 untersuchen, nicht den von f/g. Letzteres ist doch  an der Stelle 0 gar nicht definiert!

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Ich mag mich hier gerade vielleicht wie der letzte Idiot anstellen, aber ich verstehs nicht. Was ist denn dann der Differenzenquotient von F ?

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$$\frac{F(x)-F(0)}{x-0}$$

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ich komme auf f(x)/g(x)*x

muss man jetzt eine fallunterscheidung für f(x) --> unendlich, - unendlich und eine zahl aus R machen für x --> 0?

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Da häng ich jetzt auch wieder: f(x)/g(x) für F(x) eingesetzt, also f(x)/g(x)*x. Übrigens nochmal Danke für die Hilfe und Geduld.

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f(x) / (g(x) * x)

Der Grenzwert davon für \(x\to0\) ist \(F'(0)\). Also genau das, was Du laut Aufgabe ausrechnen sollst.

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Also ist dadurch beides gezeigt? Dass F(x) in 0 differenzierbar ist und F'(0) = 0 ?

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muss man jetzt eine fallunterscheidung für f(x) --> unendlich, - unendlich und eine zahl aus R machen für x --> 0?

Steht doch klar in der Aufgabe, dass f ueberall stetig sein soll. Fuer x --> 0 folgt f(x) --> f(0).

Also ist dadurch beides gezeigt?

Wenn Du die Ableitung sogar ausrechnen konntest, dann existiert sie ganz bestimmt.

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gilt dann f(0) = 0? tut mir leid wenn das offensichtlich ist, ich steh gerade auf dem schlauch.

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gilt dann f(0) = 0?

Nein, wieso?

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weil ich sonst nicht weiß wie man die ableitung berechnen soll.

also es gilt f(x)/(g(x)*x) → f(0)/unendlich (x → 0) 

also ist F(x) schon mal in 0 differenzierbar.

Gilt dann F'(x) = f(0)/unendlich ? aber das geht doch nicht wegen dem unendlich

ich brauche doch für f(0) eine konkrete zahl damit ich das unendlich wegbekomme

oder gilt hier dass f(0) eine reelle zahl ist und reelle zahl/unendlich = 0? 

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oder gilt hier dass f(0) eine reelle zahl ist und reelle zahl/unendlich = 0? 

Wenn in der Aufgabe \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) steht, dann ist \(f(0)\) ganz bestimmt eine reelle Zahl. \(a/\infty=0\) für alle \(a\in\mathbb{R}\) ist eine Regel, die sehr gut zu den Grenzwertsaetzen passt.

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okay dann hab ich jetzt alles verstanden!

vielen danke für deine hilfe