es kommt mir nicht so vor, als würde (2) eine Lösung für (1) sein.
Die Differentialgleichung \( u' = \lambda(1-u) - \mu u \) lässt sich folgenderweise in eine Normalform bringen:
\( u' = \lambda - (\lambda + \mu) u \)
oder
\( u' + (\lambda + \mu) u = \lambda \).
Dies ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
Ein Ansatz für die homogene Lösung ist
\( u_H = A \exp(-(\lambda + \mu)t) \).
Eine partikuläre Lösung erreicht man durch die konstante Funktion
\( u_P = \frac{\lambda}{\lambda+\mu} \).
Die Gesamtlösungmenge ist nun parametrisiert über \( A \) gegeben durch
\( u = u_H + u_P = A \exp(-(\lambda + \mu)t) + \frac{\lambda}{\lambda + \mu} \).
Alles, was jetzt noch fehlt, ist der konkrete Lösungsweg :)
Schöne Grüße
Mister
