Unbestimmtes Integral : 1/(1+sin(x)+cos(x))

Question

Ich habe als Übungsaufgabe für eine Klausur dieses Unbestimmte Integral zu dem ich die Stammfunktion bilden soll.

∫ 1 / (1+sin(x)+cos(x) )dx

Mein Ansatz um die Stammfunktion zu finden ist folgender:

z = 1+sin(x)+cos(x)

dz/dx = cos(x)-sin(x)

dx = dz/cos(x)-sin(x)

∫1/z * dz / (cos(x)-sin(x) )

= 1 / (cos(x)-sin(x) ∫ 1/z dz

= 1 / (cos(x)-sin(x) * ln(z) + C

 = (ln(1+sin(x)+cos(x)) ) / (cos(x) - sin(x))+C

Das Ergebnis soll allerdings ln(1+tan(x/2))+C sein.

Dann habe ich mir den Lösungsweg angeschaut, aber habe nicht nachvollziehen können, warum z = tan(x/2) sein sollte. Die Begründung dafür war dz/dx = (sin(x/2)/cos(x/2))'.

Das hat mir leider nicht geholfen das zu verstehen..Ich hoffe ihr könnt mir helfen!

Answer 1

Integrale der Struktur

int  (sin(x), cos(x) dx werden mit Hilfe der sog . Weierstraß- Substitution gelöst.

siehe folgender Link:

https://de.wikipedia.org/wiki/Weierstra%C3%9F-Substitution

.d.h Du ersetzt die betreffenden Terme jeweils:

Du solltest dann auf folgendes Integral kommen:

= int (1/(z+1) dz

Wenn Du das integriert und anschl. resubstituierst , kommst Du auf das angegebene Ergebnis.

Comments

PS:

= 1 / (cos(x)-sin(x) ∫ 1/z dz  ->dieser Schritt ist falsch. 

1 / (cos(x)-sin(x) ist keine Konstante . Diese Substitution führt nicht zum Ziel ,deswegen gibt es ja die genannte Substitution.

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Hm okay ich verstehe jetzt, dass es funktioniert und wie es funktioniert, aber noch nicht wirklich wann. Ist die einzige Bedingung, dass cos und sin und eine rationale Funktion in dem Integral vorhanden sind?

Vielen Dank schon einmal!

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Du mußt "stur"  sin(x) , cos(x) und dx durch die angegebenen Ausdrücke ersetzen und vereinfachen.

das ist alles.