Bestimmen Sie jeweils einen Maximum-Likelihood-Schätzer

Question

Seien X₁, . . . , X_n unabhängige, identisch verteilte reelle Zufallsvariablen mit Verteilung Pϑ, wobei der reelle Parameter ϑ ∈ Θ ⊂ ℝ unbekannt sei. Bestimmen Sie jeweils einen Maximum-Likelihood-Schätzer ϑˆn für den Parameter ϑ.

 

Comments

Muss man nicht einfach bei a) likelihood funktion bestimmen, die lautet:

L (ϑ,X1,...,Xn) := ∏ fϑ(X_i) = ϑe^(-ϑ∑Xi⁾

Und die Log-Likelihood dann:

LogL (ϑ,X1,..,Xn) = -ϑ∑X_i

Und von dieser muss man ja dann die erste Ableitung bilden und gleich null setzen aber bei mir kommt dann -ϑ=0 raus. ???

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LogL(ϑ) = ∑ln(ϑe^(-ϑXi⁾ ) = nln(ϑ) - ϑ∑x_i

dann komme ich auf ϑ = 1 / median(x)

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Ich hab mich vertan. Hab auch ln (ϑ)-ϑ∑x_i

Aber wieso das "n" bei nln (ϑ)-ϑ∑x_i ??

Answer 1

es ist allgemein

$l(\vartheta) = \sum_{i=1}^{n} \log(f_\vartheta(x_i)) \ \ \ \ \ (1)$

die Log-Likelihood-Funktion und

$\frac{\partial l}{\partial \vartheta} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\frac{\partial}{\partial \vartheta} f_\vartheta(x_i)}{f_\vartheta(x_i)} \ \ \ \ \ (2)$

ihre erste Ableitung. Man muss allerdings die Fälle $f_\vartheta(x_i) = 0$ diskutieren.

Sei für Aufgabe a) dafür

$L(\vartheta) = \prod_{i=1}^{n}\limits f_{\vartheta}(x_i) = \prod_{i=1}^{n}\limits 1_{[0, \infty)}(x_i) \prod_{i=1}^{n}\limits \vartheta e^{- \vartheta x_i}$

die Likelihood-Funktion. Gibt es ein $x_i < 0$, so ist $L(\vartheta) = 0$ für alle $\vartheta$. Das Maximum von $L$ ist somit nicht eindeutig und wird für alle $\vartheta$ angenommen.

Man kann also annehmen, dass $x_i \geq 0$ für alle $x_i$ gilt. Dann ist (1) wohl definiert und man kann die Ableitung (2) bilden:

$\frac{\partial l}{\partial \vartheta} = \sum_{i=1}^{n}\limits \frac{\frac{\partial}{\partial \vartheta} f_\vartheta(x_i)}{f_\vartheta(x_i)}$

$= \sum_{i=1}^{n}\limits \frac{e^{-\vartheta x_i} - x_i \vartheta e^{-\vartheta x_i}}{\vartheta e^{-\vartheta x_i}}$

$= \sum_{i=1}^{n}\limits \frac{1}{\vartheta} - x_i \stackrel{!}{=} 0$.

Es folgt

$\vartheta = \frac{1}{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i} = \frac{1}{\bar{x}}$.

Für Aufgabe b) sei

$L(\vartheta) = \prod_{i=1}^{n}\limits f_\vartheta(x_i) = \prod_{i=1}^{n}\limits 1_{[\vartheta, \infty)}(x_i) \prod_{i=1}^{n}\limits e^{-(x_i - \vartheta)} \ \ \ \ \ (3)$

die Likelihood-Funktion. Gibt es nun ein $x_i < \vartheta$, so ist $L(\vartheta) = 0$ für alle $\vartheta$ und es lässt sich kein eindeutiger Schätzer ermitteln. Es muss also $\vartheta \leq x_i$ für alle $x_i$ angenommen werden beziehungsweise $\vartheta \leq \min_{i}\limits\{ x_i \}$.

Die Ableitung (2) würde zu dem Ergebnis $\frac{\partial l}{\partial \vartheta} = n$ führen, das unabhängig von $\vartheta$ immer ungleich $0$ ist.

Für jede Einzelfunktion $e^{-(x_i - \vartheta)} 1_{[\vartheta, \infty)}(x_i)$ im Produkt (3) liegt das Maximum bei $\vartheta = x_i$. $L(\vartheta)$ muss sein Maximum folglich zwischen dem größten und kleinsten dieser $x_i$ annehmen, man kann insbesondere schreiben $\vartheta \geq \min_{i}\limits x_i$.

Zusammen mit $\vartheta \leq \min_{i}\limits x_i$ ergibt sich $\vartheta = \min_{i}\limits x_i$.

Mister