die Verteilungsfunktion von \( X_1 \) ist
\( F_\vartheta(x) = \begin{cases} 0 \text{ für } x \in (-\infty, 1] \\ \int_{1}^{x} dx' f_\vartheta(x') \text{ für } x \in (1, \infty) \end{cases} \)
Dabei ist
\( \int_{1}^{x} dx' f_\vartheta(x') = \int_{1}^{x} dx' \vartheta x'^{-\vartheta-1} \)
\( = \left[ -x'^{-\vartheta} \right]_{1}^{x} = 1 - x^{-\vartheta} \).
Die Log-Likelihood-Funktion ist
\( l(\vartheta) = \sum_{i=1}^{n} \log(f_\vartheta(x_i)) \)
\( = \sum_{i=1}^{n} \log(\vartheta x_i^{-\vartheta-1}) \).
Deren Ableitung lautet
\( \frac{\partial l}{\partial \vartheta} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\frac{\partial f_\vartheta(x_i)}{\partial \vartheta}}{f_\vartheta(x_i)} \)
\( = \sum_{i=1}^{n} \frac{\exp((-\vartheta - 1)\log(x_i)) - \vartheta \log(x_i) \exp((-\vartheta - 1) \log(x_i))}{\vartheta \exp((-\vartheta - 1)\log(x_i))} \)
\( = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{\vartheta} - \log(x_i) \right) \stackrel{!}{=} 0 \).
Für \( \vartheta \) ergibt sich
\( \vartheta = \frac{1}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \log(x_i)} = \frac{1}{\overline{\log(x)}} \).
Das ist der Schätzer \( \hat{\vartheta}_n \). Dieser entspricht der Nullstelle der Ableitung der Log-Likelihood-Funktion.
Mister
