Konvergenz einer "Mittelwert-Folge" zeigen

Question

Aufgabe:

Sei \( \left(a_{n}\right) \) eine reelle Folge mit Grenzwert \( a \) und sei
$$ s_{n}=\frac{a_{1}+\cdots+a_{n}}{n} $$
der Mittelwert von \( a_{1}, \ldots, a_{n} . \) Zeigen Sie, dass \( \left(s_{n}\right) \) ebenfalls gegen \( a \) konvergiert.

Geben Sie außerdem eine divergente Folge \( \left(a_{n}\right) \) an, sodass \( \left(s_{n}\right) \) weiterhin konvergiert.

Tipp: Dreiecksungleichung.

 

Lösung:

Ich versuche die Lösung zu verstehen.

1. Was ist der Grund für das hinzufügen von an+1/n + ... + an-a/n nach dem Abschätzen mit der Dreiecksungleichung? Wir erhalten doch insgesamt mehr als vorher. Und warum fügen wir erst an+1 und dann wieder nur an hinzu?

2. Dass wir an+1 ... und an abschätzen können mit epsilon/n ist klar. Aber wie kommt man auf (n-N)*epsoilon/n?

Answer 1

zur ersten Frage.

Man fügt nichts hinzu. Es wird nur der Bereich von a_N+1 bis a_n gesondert betrachtet, d.h. N ≠ n und N < n.

Dies erklärt dann auch die zweite Frage wie man auf

$$ \frac{n-N}{n} \cdot epsilon $$

kommt, denn es wurde ja der Bereich bestimmt aber wo gilt

$$ \vert a_n - a \vert < \epsilon \quad \forall \quad n > N $$

Man hat ja n-N Terme, die gesondert betrachtet werden. Für alle diese Terme gilt dann auch

$$ \frac{ \vert a_n - a \vert }{n} < \frac{epsilon}{n} $$

Das wurde dann eingesetzt.

Ich hoffe das eklärt Deine Fragen, bin aber gerne bereit, es noch anders zu erklären, wenn es so nicht verständlich ist.

Gruß

Comments

Danke das erklärt alles. Noch eine Frage. Wieso können wir den term gegen unendlich laufen lassen? Und wieso soll | sn - a | gegen epsilon konvergieren, es muss doch gegen 0 konvergieren?

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Gegen unendlich laufen lassen:

Das geht, da man ja wissen will, ob und wenn ja wogegen |s_n-a| konvergiert. Dafür lässt man ja n gegen unendlich laufen. Ganz sauber ist das nicht aufgeschrieben, da das am Anfang nicht auch überall steht, aber man kann das so verstehen, dass man sich dann mit der Gleichung das Verhalten von |s_n-a| ansieht wenn n gegen unendlich läuft.

Es wird nirgends genutzt, dass |s_n- a| gegen epsilon konvergiert. Das konvergiert schon gegen 0. Genutzt wird, dass man sich anschaut, was für alle Folgenglieder |a_n-a| mit n > N gilt. Die sind alle kleiner als das gegebene epsilon. Das sind dann genau (n-N) / N * epsilon. Die anderen Terme in der Summe konvergieren dann gegen 0 wenn n gegen unendlich geht. Übrig bleibt epsilon, da (n-N) / N in diesem Fall gegen 1 läuft.
Am Ende hat man also lim n gegen unendlich von xy < lim n...  asdz < lim n ... asdfz < epsilon. Also genau das was man braucht um die Konvergenz und hier auch den Grenzwert von s_n zu bestimmen. s_n konvergiert gegen a denn
$$ \forall \epsilon > 0 \quad \exists n_0 \in \mathbb{N} \quad \text{derart dass} \quad \vert s_{n_0} - a \vert < \epsilon $$
weil
$$ \lim_{ n \to \infty} a_n = a $$
und
$$ \lim_{ n \to \infty} |s_n - a| < \epsilon $$

Wenn n gegen unendlich läuft hat, kommt man irgendwann zu dem n₀ so dass das Konvergenzkriterium erfüllt ist.