Schnittpunkt einer Tangente mit einer Funktion bestimmen

Question

Aufgabe:

Funktion f(x)=0,5·x^{3} ist gegeben.

Zunächst sollte die Gleichung der Tangente bei x₀=2 bestimmt werden, wo ich die Funktion t(x)=6x-8 herausbekommen habe.

Bei der 2. Teilaufgabe komme ich allerdings nicht weiter, hier soll jetzt ein weiterer Punkt gefunden werden, in dem die Tangente den Graphen schneidet. Wie gehe ich da vor?

Ich habe bereits versucht, es herauszubekommen indem ich f(x) mit t(x) gleichgesetzt habe und anschließend auf x aufgelöst habe, allerdings war mein Ergebnis x=2, was ja kein weiterer Punkt S ist. Es wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte, zu verstehen wie ich die Aufgabe angehen muss.

Answer 1

mit Deinem Ergebnis für t(x), der bekannten Nullstelle der Gleichung x₀=2 (Schnittpunkt)  und Polynomdivision mit (x-2) komme ich auf

$$ \begin{aligned} f(x)&=&t(x) \\0 &=& f(x)-t(x) = 0,5x^3 -6x + 8 \\0 &=& x^3 - 12x +16 \\ \text{NR}&& \quad (x^3 - 12x + 16) : (x-2) = x^2 + 2x - 8 \\ 0 &=& (x-2)\cdot (x^2 +2x -8) \\ \text{Satz von Vieta}&& \quad x^2+px + q \qquad p= - (x_1+x_2) \qquad q= x_1 \cdot x_2 \\ 0&=& (x-2) \cdot (x-2) \cdot (x+4) \end{aligned} $$

Damit erhält man noch einen weiteren Schnittpunkt mit x=-4.

Was sehr oft helfen kann, ist einen Plotter - z.B. den hier auf der Seite verlinkten - zu benutzen um sich eine Funktion mal anzuschauen. Oft kann man dann etwas ablesen, was man danach rechnerisch ermittlen kann, da man eine Idee davon bekommt.

Gruß

Comments

Vielen Dank, allerdings habe ich noch nicht so richtig verstanden, wie man auf die letze Gleichung nach dem Satz von Vieta kommt. Muss man dort einfach Werte für x₁ und x₂ einsetzen und ausprobieren, bis die Gleichung Null ergibt?

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Du kannst auch pq-Formel, quadratische Ergänzung oder sonst etwas benutzen, anstatt zu raten bzw. auszuprobieren. Geraten habe ich in diesem Fall nicht, sondern hatte mir die Funktion vorher schon geplottet. Die anderen Varianten gehen aber nicht wirklich langsamer, da es einfache Zahlen sind.

Der Satz von Vieta ist eigentlich nur das Ausmultiplizieren von folgender Gleichung:

Für eine quadratische Funktion f(x)=x2+ px +q mit den Nullsten x₁ und x₂ gilt

$$ f(x)=x^2+px +q =  (x-x_1)\cdot (x-x_2) $$

da f(x)=0 wenn x=x₁ oder x=x₂ ist.

$$ f(x)= (x-x_1)\cdot (x-x_2)= x\cdot (x-x_2)- x_1\cdot(x-x_2) $$

$$ f(x)= x^2 -x_2  \cdot x - x_1 \cdot x + x_1 \cdot x_2 = x^2 - (x_1+x_2) \cdot x + (x_1\cdot x_2) $$

$$ f(x)= x^2 + ( - ( x_1 + x_2) ) \cdot x + (x_1 \cdot x_2) $$

daraus folgt

$$ p= - (x_1+x_2) \qquad \text{und} \qquad q=x_1 \cdot x_2 $$

Gruß

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Vielen Dank, jetzt habe ich es auch richtig verstanden:)

Answer 2

Polynomdivision liefert:

x^3 -12x+16 = (x-2)(x^2+2x-8) = (x-2)(x-2)(x+4)

Damit ist x=4 weitere Schnittstelle.