Question

Beweisen Sie die Produktregel mit Hilfe der Kettenregel und der Ableitung
des natürlichen Logarithmus.

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Geht es (vielleicht) um Ableitungsregeln?  

Answer 1

Produktregel

( f * g) ' = f ' * g + f * g'

Nun gemäss Anleitung ln davon ableiten  (Logarithmengesetz ln(a*b) = ln(a) + ln(b) )

h= ln ( f * g) = ln(f) + ln(g)         | Ableiten (Kettenregel)

h' = 1 /(f * g) * (f*g)'  = 1/f  * f ' + 1/g * g'

 1 /(f * g) * (f*g)'  = 1/f  * f ' + 1/g * g'            | * (f*g)       [Hauptnenner] 

(f * g)' = g * f'  + f * g'

q.e.d.

Anmerkung: Argumente des ln müssen grösser als 0 sein.

Wenn du willst, noch weitere Fälle und Fallunterscheidung einbauen.

Answer 2

ln( f(x) * g(x) )  = ln( f(x) ) + ln ( g(x) )

auf beiden Seiten ableiten gibt

1 / ( f(x) * g(x) )   *  ( f(x) * g(x) ) '    =  1 / f(x)   *   f ' (x)    +   1 / g (x)   *  g ' (x)

⇔    ( f(x) * g(x) ) '   /  ( f(x) * g(x) )   =   f ' (x)  / f(x)    +   g ' (x) / g (x)  

⇔    ( f(x) * g(x) ) '   /  ( f(x) * g(x) )   =   f ' (x) * g(x)  / ( f(x) *g(x) )   +   g ' (x) * f(x)  / ( f(x) *g(x) )

mit dem gem Nenner malnehmen

⇔    ( f(x) * g(x) ) '     =   f ' (x) * g(x)   +   g ' (x) * f(x)      q.e.d.

Natürlich nur wenn alles nicht 0 ist etc.