Partielle Integration bei - ∫(2x-1)*(-e^{-x}) dx . Warum - und dann +?

Question

- ∫(2x-1)*(-e^{-x}) dx 

ich versuche gerade für Mathe zu lernen und komme bei der Partiellen Integration nicht weiter.

Ich habe versucht das Integral zu bilden von -Integral von -2 bis 4 (2x-1)*(-e^-x) dx und habe einen Rechenweg, wo ich zwei Dinge nicht verstehe, die ich eingekreist habe mit meinem Kugelschreiber. Könnte mir bitte jemand erklären wieso beim ersten Kreis bzw. 2e^-x das *(-1) und bei dem zweiten Kreis das Pluszeichen + zustande kommt?

Answer 1

∫ e^{-x} dx = -e^{-x} + C

Grund ist die Kettenregel bei der Ableitung:

(e^{-x})' = e^{-x}*(-1) , dabei ist (-1) die innere Ableitung.

In der Klammer steht oben:

2*e^{-x} * (-1) =( -1) * 2 * e^{-x} = -2e^{-x}

Und nun hast du vor der Klammer noch ein MINUS

Daher + 2e^{-x} eine Zeile später.

Comments

Woher kommt denn die (-1)?   -2e^-x ist ja nicht dasselbe wie +2^-x

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Hätte noch eine Frage zu der (-1). Bei dem Schritt davor bei [(2x-1)*e^-x]-[2e^-x] da wurde (2x-1) abgeleitet zu 2 und anschließend wurde daraus 2e^-x also [(2x-1)*e^-x]-[2e^-x] und darf man nun wieder die [2e^-x] ableiten bzw. die Kettenregel benutzen? Habe ich es richtig verstanden? Blicke da irgendwie nicht wirklich durch, da ja die Partielle Integration bei [(2x-1)*(-e^-x)] das [(2x-1)*e^-x]-[2e^-x] ist und dann wieder die Kettenregel auf [2e^-x]  anwenden? Ist das jetzt nochmal eine Partielle Integration? Oh man

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∫ e^-x dx = -e^-x + C 

Konstante Faktoren darfst du vor das Integralzeichen schreiben.

∫ 2e^-x dx =2 ∫ e^-x dx =2*( -e^-x + C) =  -2e^-x + 2C = -2e^{-x} + D 

Wenn du partiell integrieren würdest, ist 2 ' = 0 und einer der Summanden fällt dann einfach weg. Das sollte somit nicht falsch werden, ist aber unnötig. 

Answer 2

Vorbemerkungen
- die Integratiosngrenzen lasse ich zunächst immer weg.
Die lassen die Berechnungen nur verwirrender erscheinen.
Ich bilde zuerst immer nur die Stammfunktion

- da wir 2x- 1 ableiten wollen damit es entfällt wird e^{-x}
zunächst einmal aufgeleitet und u, u´, v und v´ vorab gebildet.