Berechnung der Verzerrung eines Schätzers (stetige Gleichverteilung auf [0, θ] )

Question

Ich habe für die Berechnung die Linearität des Erwartungswerts sowie die unabhängige identische R[0, θ]-Verteilung der Xi ausgenutzt:

$$ E(  (\sum_{i=1}^{n}{{ x }_{ i }})^2 ) = E(\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{{ x }_{ i } { x }_{j }}}) = \sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}E({{ x }_{ i } { x }_{j }}}) = \sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{E({ x }_{ 1 }})^2} $$ $$= n^2 E({ x }_{ 1 })^2 = n^2\frac { θ^2 }{ 4 } $$ $$ ⇒ E(T) - θ^2 = \frac { 4 }{ n^2 }E(\frac { n^2θ^2 }{ 4 }) - θ^2 = θ^2 - θ^2 = 0 $$

Somit wäre T allerdings bereits erwartungstreu und die Aufgaben (a) und (b) trivial.

Wo liegt mein Fehler?

Comments

Hab die Summenzeichen falsch aufgelöst, da die Unabhängigkeit für i=j nicht gegeben ist.. neuer Ansatz:

$$ \sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}E({{ x }_{ i } { x }_{j }}}) = nE({ x }_{ 1 }^2) + n(n-1)E({ x }_{ 1 })^2 $$

Damit würd ich dann auch auf einen asymptotisch e-treuen Schätzer kommen, den ich leicht korrigieren kann. Ist der Rechenschritt soweit richtig?