Aussagen zu Vektorraum | Primzahlen

Question

Hallo :)

Ich soll bei den folgenden 3 Aussagen entscheiden, ob diese wahr sind.

1. Sei p=2 und seien v1, v2 ∈ Kⁿ \ {0}. Dann sind v1 und v2 genau dann linear abhängig, wenn v1=v2.

2. Sei V ein K-Vektorraum der Dimension N. Dann hat V genau pⁿ Elemente.

3. Sei p=2 und sei A ∈ M₂(K). Dann ist A ∈ GL₂(K) genau dann, wenn A keine Nullsplate enthält und die beiden Spalten von A verschieden sind.

Ich danke euch!

Answer 1

1. Sei p=2 und seien v1, v2 ∈ Kⁿ \ {0}. Dann sind v1 und v2 genau dann linear abhängig, wenn v1=v2.

stimmt; denn es muss dann ja ein x ≠0 geben, dass für alle Komponenten

die i-te Komponente von v1 mal x = i-te Komp. von v2 ist. Da hier nur x=1 möglich ist,

stimmt es

2. Sei V ein K-Vektorraum der Dimension N. Dann hat V genau pⁿ Elemente.

ja V ist ja isomoph zu K^n .

3. Sei p=2 und sei A ∈ M₂(K). Dann ist A ∈ GL₂(K) genau dann, wenn A keine Nullsplate enthält und die beiden Spalten von A verschieden sind.

wie 1. Die Spalten müssen dann ja lin. unabhängig sein, also stimmt auch das.