Führe das quadratische Ergänzen durch

Question

z²-2zw+⟨

x²-8x+⟨

16p²+8pq+⟨

4c²+12cd+⟨

25a²+80ab+⟨

9w²-20vw+⟨

Answer 1

Man will auf eine binomische Formel kommen, und für die 1. und 2. binomische Formel gilt ja bekanntlich:
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Bei den angegebenen Termen hat man das a^2 und das 2ab jedesmal gegeben.
Um auf b und damit auch auf b^2 zu kommen, müssen wir also 2ab durch 2 * Wurzel aus a^2 teilen:
z^2 - 2zw + w^2 = (z - w)^2

x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2

16p^2 + 8pq + q^2 = (4p + q)^2

4c^2 + 12cd + 9d^2 = (2c + 3d)^2
25a^2 + 80ab + 64b^2 = (5a + 8b)^2

9w^2 - 20vw + 100/9*w^2 = (3w - 10/3w)^2

Comments

In der letzten Zeile muss es heißen:
9w^2 - 20vw + 100/9*v^2 = (3w - 10/3*v)^2

Answer 2

Die quadratische Ergänzung läuft genau gesagt in 6 Schritten:

1) Man schaut sich das Quadrat an, welches ganz vorne steht, und zieht daraus die Wurzel. Beispiel: √x² = x oder √16p² = 4p.

2) Durch das Ergebnis aus 1) wird nun der zweite Teil dividiert. Beispiel: - 8x / x = - 8 oder 8pq / 4p = 2q.

3) Das Ergebnis aus 2) wird nun durch 2 geteilt. Beispiel: - 8 / 2 = - 4 oder 2q / 2 = q.

4) Das Ergebnis aus 3) wird quadriert, also mit sich selbst multipliziert. Beispiel: (- 4) * (- 4) = 16 oder q * q = q².

5) Das Ergebnis aus 4) wird einmal addiert und einmal subtrahiert. Nun hat man im Normalfall insgesamt 4 einzelne Teile da stehen.

6) Die ersten 3 Teile lassen sich nun mit der binomischen Formel zusammenfassen. In der Klammer stehen dabei nun das Ergebnis von Schritt 1) und das Ergebnis von Schritt 3).

Soweit alles verstanden? ^^
Dann müsstest du den Rechnungen hier jetzt ja auch problemlos folgen können.

z² - 2zw
= z² - 2zw + w² - w²
= (z - w)² - w²

x² - 8x
= x² - 8x + 16 - 16
= (x - 4)² - 16

16p² + 8pq
= 16p² + 8pq + q² - q²
= (4p + q)² - q²

4c² + 12cd
= 4c² + 12cd + 9d² - 9d²
= (2c + 3d)² - 9d²

25a² + 80ab
= 25a² + 80ab + 64b² - 64b²
= (5a + 8b)² - 64b²

9w² - 20vw
= 9w² - 20vw + 100/9 v² - 100/9 v²
= (3w - 10/3 v)² - 100/9 v²