Max und Min bestimmen von Polynom f(x) = x3 - 12x + 8, 1≤x≤3. Klausur Übungsaufgabe

Question

dies ist eine Klausur Übungsaufgabe .

bei a) habe ich f'(x) = => 3x² - 12 = 0 => x= + / -2

f''(2) = 6*2= 12 > 0 , also Tp bei x=2 .

f''(-2) = 6*(-2) = -12 < 0 also ein Hp bei x = -2

 Ist das richtig ?

bei b) habe ich f(1) = -3 und f(3) = 71.

Comments

edit *  f(3) = -1

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Grundsätzlich sieht das gut aus. Leider ist aber die Funktion nur auf [1;3] definiert. Also fällt der eine Extrempunkt per Definition schon raus. Um Höchst- und Tiefswert auf dem Intervall zu bestimmen musst Du Dir auch noch die Werte an den Intervallgrenzen ansehen.

Zur Kontrolle einfach mal die Funktion plotten - siehe auf der rechten Seite verlinktes Tool - und vergleichen.

Answer 1

deine lokalen Extremstellen wären  für D=ℝ richtig.

Der Hochpunkt liegt aber außerhalb desDefinitionsbereichs  [ 1 ; 3 ]

Hier müssen auch die Randstellen berücksichtigt werden:

f(1) = -3

f(3) = -1

f(2) = -8

Das absolute Minimum liegt also bei x=2 und hat den Wert f(2) = -8

Das absolute Maximum liegt bei x=3 und hat den Wert f(2) = -1

Beim Tiefpunkt hat man lediglich ein lokales Minimum

b)

f(I) = [ -8 ; -1 ]

Gruß Wolfgang

Answer 2

Wie du für a) schon bereits gezeigt hast, haben wir dass $$f'(x)=3x^2-12 \\ f'(x)=0 \Rightarrow x=\pm 2$$

Da die f in den Interval [1,3] definiert ist, lehnen wir das x=-2 ab.

Also haben f'(x)=0 ⇒ x=2.

Ausserdem haben wir dass $$f' <0 \text{ auf } [1,2) \text{ und } f'>0 \text{ auf } (2,3]$$

Also $$f \downarrow \text{ auf } [1,2) \text{ und } f \uparrow \text{ auf } (2,3]$$

Also die f erreicht den Tiefswert auf x=2 und den Höchstwert auf x=3.

Um das f(I)=f([1,3]) zu bestimmen tun wir folgendes:

$$f([1,2])=[f(2),f(1)]=[-8,-3] \\ f([2,3])=[f(2),f(3)]=[-3,-1]$$

$$f([1,3])=f([1,2])\cup f([2,3])=[-8,-3]\cup [-3,-1]=[-8,-1]$$

Comments

wow wunderbar. dankeschön ! :)

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@maiem:

Also die f erreicht den Tiefswert auf x=2 und den Höchstwert auf x=3. 

an dieser Stelle deiner Argumentation hast du das keineswegs begründet!